INDUCCIÓN:
En este taller realizarás algunas construcciones utilizando el programa Cabri. Debes estar muy atento (a) en el proceso, analizando las características geométricas fundamentales para responder las preguntas formuladas y así obtener conclusiones que permitan evidenciar tu conocimiento construido.
Es posible que durante el desarrollo del trabajo te surjan algunas dudas e inquietudes. Sobre éstas formularás preguntas y las escribirás en el “Centro de de Debates” que se encuentra en la página http://www.pensadoresmatematicos.com/. También puedes participar respondiendo las inquietudes de tus compañeros.
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
Realiza la siguiente construcción en cabri Teorema de la mariposa: Dada una cuerda PQ de una circunferencia, sea M el punto medio de PQ. Sean AB y CD otras dos cuerdas que pasan las dos por M. Trazamos ahora las cuerdas AD y BC que cortan en los puntos X e Y respectivamente a la cuerda PQ.
¿Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?. Argumenta tu respuesta.
Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Explica por qué M es punto medio del segmento . (Sugerencia: a partir del centro O de la circunferencia construye el triángulo OPQ y traza el segmento OM. Construye también el triángulo OXY).
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
Realiza la siguiente construcción en cabri Teorema de la mariposa: Dada una cuerda PQ de una circunferencia, sea M el punto medio de PQ. Sean AB y CD otras dos cuerdas que pasan las dos por M. Trazamos ahora las cuerdas AD y BC que cortan en los puntos X e Y respectivamente a la cuerda PQ.
¿Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?. Argumenta tu respuesta.
Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Explica por qué M es punto medio del segmento . (Sugerencia: a partir del centro O de la circunferencia construye el triángulo OPQ y traza el segmento OM. Construye también el triángulo OXY).
APRENDIZAJE COLABORATIVO
Entra al “Centro de debates” y escribe las respuestas que diste en el trabajo individual. Debes tener en cuenta las intervenciones de tus compañeros.
EVALUACIÓN
Tu profesor(a) leerá todos los comentarios y evaluará tus intervenciones, de acuerdo a tu capacidad para argumentar, teniendo en cuenta otro comentario realizado previamente. Puedes hacer todos los comentarios que desees, pero mínimo debes hacer uno.
INICIAR:
Haz click en comentario para agregar tu opinión, no olvides dejar tu nombre y curso claro al final.
Tu profesor(a) leerá todos los comentarios y evaluará tus intervenciones, de acuerdo a tu capacidad para argumentar, teniendo en cuenta otro comentario realizado previamente. Puedes hacer todos los comentarios que desees, pero mínimo debes hacer uno.
INICIAR:
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157 comentarios:
1.los tríangulos DAM y BCM
son congruentes porque se puede trazar una recta que pase por el centro del circulo y por el punto medio del segmento pq y esta deria el eje de simetria de los dos triangulo.
2. todos los lados del tríangulo BCM tienen su correspondiente en el tríangulo DAM.
3. xm=ym porque xp y yq son alturas de tríangulos congruentes
Podemos concluir que los triangulos DAM y BCM son iguales ya quelos dos segmentos ab y cd intersectan a m.
Son distintos los triangulos DAM y BCM ya que los segmentos AB y CD no son de la misma medida.
1. Los triangulos son semejantes
2. Ya lo hicimos
3. Porque el sebmento PQ, y el segmento XY son prop0orcionales
Marcela Mojica
10ºG
1. Se puede decir que los triángulos DAM y BCM son congruentes, semejantes ya que sus ángulos y lados miden lo mismo.
2. Segmentos congruentes: DA-BC, DC-BA, PM-QM, PX-QY, XM-YM, DM-BM, DX-BY, CM-AM, XA-YC, PY-QX,
Triángulos congruentes: AXM-CYM, DMX-BMY, DMA.BCM.
Ángulos congruentes: XAM-YCM, XDM-YBM-ADM-CBM, DMA-BMC, BYM-DXM, MYC-MXA, BYQ-BXP, CYQ-AXP.
Triángulos semejantes: no se encontraron en la figura.
3. Ya que el segmento OM es perpendicular a XY, y a la vez el segmento PQ pasa por ella, siendo su mediatriz, por ello es el punto medio del segmento XY.
TALLER 5
NAOMBRE: CARLOS LEONARDO BAUTISTA PIMIENTO
CURSO: 10G
FECHA: 22/03/2008
SOLUCION
1) LO QUE PODEMOS DECIR DE ESTOS DOS TRIANGULOS ES QUE SON DOS TRIANNGULOS SEMEJANTES Y CONGRUENTES
PORQUE SEGÚN LO QUE SE PUEDE VER ESTOS DOS TRIANGULOS TIENEN LAS MISMAS MEDIDAS TANTO EL TRIANGULO DAM COMO EL TRIANGULO BCM.
2) SEGMENTOS CONGRUENTES:
*DA Y BC
*AB Y CD
*DX Y BY
*XA Y YC
*PX Y QY
*PM Y QM
*XM Y YM
*DM Y BM
*AM Y CM
TRIANGULOS CONGRUENTES:
*DXM Y BMY
*XAM Y YCM
*DAM Y BCM
ANGULOS CONGRUENTES:
*ADM Y CBM
*XDM Y YBM
*XAM Y YCM
*PXA Y QYC
*AMC Y DMB
*MXD Y MYB
*PXD Y QYB
3) M ES EL PUNTO MEDIO DE EL SEGMENTO XY POR QUE SE ENCUENTRA EN EL SEGMENTO PQ Y EL PUNTO MEDIO DE ESTE SEGMENTO ES M
carlos leonardo bautista pimiento
TALLER No. 5
CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Y TEOREMAS ESPECIALES
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
1. Se puede afirmar de los triángulos DAM y BCM, son rectángulos e iguales y/o congruentes puesto que al superponer uno sobre otro son exactamente iguales, además al trazar una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento pq se puede ver que ambos triángulos son una reflexión del otro.
2. Posibilidades:
• Segmentos congruentes:
DA y BC
DC y BA
MD y MB
AM y CM
DX y BY
XA y YC
MQ y MP
XM y YM
PX y QY
PY y QX
• Triángulos congruentes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
• Ángulos congruentes:
ADC Y ABC
• DAB Y BCD
• Triangulos semejantes:
No se encuentran triangulos semejantes en la construcción del teorema de la mariposa, puesto que que si un objeto es semejante a otro tiene la misma forma pero un tamaño diferente, y en la construcción no se encuentran triangulos con la misma forma puesto que los angulos de uno son mas grandes o mas pequeños que en los otros triangulos, a menos de que se concidere una figura semejante a otra teniendo en la misma forma y en el mismo tamaño entonces se encontrarían los siguientes triangulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
el anterior comearioes de leonardo bautista 10G
angie puentes 10 g
TALLER Nº 5
CONSTRUCCIONES GEOMÈTRICAS Y TEOREMAS ESPECIALES
Trabajo Individual
1. Lo que podemos afirmar de los triángulos DAM y BCM, es que son congruentes por que se puede ver como un tipo de reflexión de los triángulos, por lo que el segmento AD es proporcional al segmento BC, lo mismo se puede decir de los segmentos DM, BM, MA Y MC
2. -El segmento AD es congruente al segmento BC
El segmento DM es congruente al segmento BM El segmento AM es congruente al segmento CM El segmento XM es congruente al segmento MY
El segmento XA es congruente al segmento YC
El segmento DC es congruente al segmento BA
El segmento DX es congruente al segmento BY
El segmento PM es congruente al segmento QM
El segmento PX es congruente al segmento QY
El segmento PY es congruente al segmento QX
- El triángulo PXD es congruente con el triángulo BYQ
El triángulo ADM es congruente con el triángulo BMC
El triángulo DXM es congruente con el triángulo BMY
- El ángulo XDM es congruente con el ángulo YBM
El ángulo ADC es congruente con el ángulo CBA
El ángulo AXM es congruente con el ángulo MYC
El ángulo DMA es congruente con el ángulo BMC
El ángulo DXM es congruente con el ángulo BYM
El ángulo BYQ es congruente con el ángulo DXP
El ángulo DMB es congruente con el ángulo AMC
- Los triángulos formados en la circunferencia son congruentes correspondientemente, por lo que no es posible hallar triángulos semejantes, a pesar de que los triángulos no sean iguales, cada uno tiene su triángulo correspondiente y/o congruente.
3.
COMENTARIOS JEFFE DE DEBATE:
Pablo C: traza el eje de simetrìa que propones, mueve luego el punto P y observa en què momento los triàngulos no son congruentes.
En cuanto a la conclusiòn tres es cierta, pero el argumento que la sustenta no lo es.
a Sebastiàn Cruz le decimos que:
Su primera conclusiòn es cierta pero no està la justificaciòn. Su tercera conclusiòn presenta un error de comprensiòn de la proporcionalidad ya que esta relaciòn no se establece entre las longitudes de dos segmentos sino entre cuatro.
A Marcela Mojica:
Debes aclarar què significa que los triàngulos sean congruentes y què significa que sean semajantes. Ademàs debes explicitar por què los àngulos y los lados miden lo mismo.
Mueve p y mira si siempre se cumple que DA sea igual a BC.
Mira los siguientes comentarios y realiza las correcciones pertinentes.
Carlos Bautista: por favor revisa las observaciones que se hacen a Marcela.
Angie Ximena:
Revisa si realmente se puden superponer los triàngulos que dices. Mueve P y mira si se cumple lo que dices.
Lorena: Revisa los comentarios hechos a los anteriores participatnes.
A TODOS: Leamos el anàlisis que hace Lorena y miremos cuàles de las afirmaciones acerca de las congruencias ente segmentos y triàngulos son ciertas y cuàles no. Para ver esto debemos mover P. Despuès miremos dònde hay proporcinalidad.
Nota: Por favor colocar siempe el nombre y el curso. Son cinco cursos los que participan de este debate.
Nidia martìnez M
1.Acerca de los triàngulos DAM y BCM podemos decir que estos son congruentes: tienen sus àngulos y lados iguales. Los dos triàngulos son rectàngulos en M, o punto medio de segmento PQ, y son asì mismo escalenos.
Son congrentes porque uno de sus lados:CD y BA pasan por el punto M, que hace que los segmentos tengan la misma longitud.
2.SEGMENTOS CONGRUENTES:
seg. CB y AD
seg. CD y AB
seg. PM y MQ
seg. XO y YO
seg. PO Y QO
seg. PX y YQ
seg. AM y CM
TRIÀNGULOS CONGRUENTES
CMB y AMD
PXO y QYO
MYO y MXO
CMX y AMY
PMO y QMO
1.Acerca de los triàngulos DAM y BCM podemos decir que estos son congruentes: tienen sus àngulos y lados iguales. Los dos triàngulos son rectàngulos en M, o punto medio de segmento PQ, y son asì mismo escalenos.
Son congrentes porque uno de sus lados:CD y BA pasan por el punto M, que hace que los segmentos tengan la misma longitud.
2.SEGMENTOS CONGRUENTES:
seg. CB y AD
seg. CD y AB
seg. PM y MQ
seg. XO y YO
seg. PO Y QO
seg. PX y YQ
seg. AM y CM
TRIÀNGULOS CONGRUENTES
CMB y AMD
PXO y QYO
MYO y MXO
CMX y AMY
PMO y QMO
• Triangulos semejantes:
No se encuentran triangulos semejantes en la construcción del teorema de la mariposa, puesto que que si un objeto es semejante a otro tiene la misma forma pero un tamaño diferente, y en la construcción no se encuentran triangulos con la misma forma puesto que los angulos de uno son mas grandes o mas pequeños que en los otros triangulos, a menos de que se concidere una figura semejante a otra teniendo en la misma forma y en el mismo tamaño entonces se encontrarían los siguientes triangulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
3. xm=ym porque xp y yq son alturas de tríangulos congruentes
MONICA CHAPARRO GUIO
STEFANIA LANDAETA CHINCHILLA
10 F
¿Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?.
pienso que los triangulos son semejantes puesto que los angulos de ambos son iguales y tambien las razones de los lados correspondientes son iguales
ya que es distinto decir que son congruentes a que son semejantes.
santiago Agudelo Bernal 11H
Los triángulos DAM y BCM, son congruentes, ya que tienen un mismos vértice a partir del centro M. Y están inscritos en la misma circunferencia.
Juan Sebastián Lozano Oeriz
11H
Los triangulos DAM y BCM, son congruentes debido a que el segmento PQ en su punto medio forma los demas segmentos y esto permite que en el "centro" siempre esten o pasen los tres segmentos y por lo cual asi se mueva en este punto los tres segemntos pasaran y la formacion de los triangulos estara hay.
Laura Forero Vega
11ºH
pienso que los triangulos son congruentes mas no semejantes puesto que un angulo semejante significa que sea igual tanto en sus lados como en sus angulosy al mo0dificar el tamaño de la cuerda PQ varian los lados y hacen que no sean iguales.
maria paula lesmes 11H
Opino que los triangulos DAM y BCM si son congruentes mas no semejantes debido a que los semejantes son completamente iguales incluyendo tanto lados como angulos, y en estos triangulos al tomar como punto de partida el punto medio M si movemos alguno de sus segmentos, los angulos no varian pero pero la medida de sus lados llega hacer diferente en diferentes posiciones de la grafica, y teniendo en cuenta que estos dos triangulos se encuentras inscritos en una misma circunferencia.
Carolina Consuegra Rozo 11°H =P
1.¿que podemos decir acerca de los triangulos DAM y BCM?
los triangulos son iguales ya que sus angulos son congruentes porq tienen la misma medida
2. existen infinitos puntos en un segmento y asi tambien infinitos angulos semejantes
3. la distancia de P a M ES igual a la distancia de M a O; al mover el punto medio dentro de la circunferencia la construccion se mueve sin alterar los triangulos
laura moreno
jessica molano
11° H
HOLA PROFE ESPERO QUE TE VALLA BN Y BESITOS
Respuesta---->
1.Lo que se puede decir de los triángulos DAM y BCM, es que los triángulos son semejantes pero el triangulo BCM, es mas grande, por que sus mediadas y ángulos son mas grandes que el triangulo DAM y que uno es la reflexión del otro.
sebastian corredor
11H
LOS SEGEMENTOS PM Y MQ SIEMPRE VAN A SER CONGRUENTES PORQUE M ES EL PUNTO MEDIO DE PQ A DIFERENCIA DE LOS OTROS SEGMENTOS QUE TAMBIEN CORTAN POR ESTE PUNTO M PERO HAY QUE TENER EN CUENTA QUE ESTE NO ES SOLO EL PUNTO MEDIO DE PQ
1. Nosotras pensamos que lo triángulos BCM y ADM son congruentes ya que tienes sus ángulos y lados de la misma medida.
2. Con respecto a las posibilidades de encontrar segmentos congruentes nosotras estamos de acuerdo con la opinión de Laura y Jessica que hay infinitas posibilidades ya que todos los triángulos que resultan son congruentes.
3. Viendo las respuestas de nuestros compañeros nos pudimos dar cuenta que M es el punto medio ya que al mover este los triángulos quedan iguales y no se alteran sus medidas.
1) Considero que los triangulos DAM y BCM son semejantes en cuanto a la medida de sus angulos, pero dependiendo de la ubicaciòn del segmento PQ, el tamaño de ambos triangulos varia.
1. ¿Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM? Argumenta tu respuesta.
Son triángulos iguales pues son de la misma medida y si tomamos la cuerda PQ como eje de simetría que actúa como un espejo, un triangulo, ya sea DAM o BCM es el reflejo del otro triangulo.
opinamos que los triangulos son congruentes por que estan inscritos en la misma circunferencia,sus angulos siguen siendo iguales en los diferentes recorridos de la circunferencia pero sus lados no son iguales por eso mismo no son semejantes
los triangulos DMA y BMC son triangulos congruentes debido a que los angulos que los conforman tienen la misma medida, aunque sus segmentos no midan lo mismo
Explica por qué M es punto medio del segmento .
YM = XM
PUESTO QUE EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO ES EL QUE SEPARA EL SEGMENTO EN 2 PARTES IGUALES Y LA DISTANCIA DE X A M ES EQUIDISTANTE A LA DISTANCIA ESTABLECIDA DE "Y" A "M"
PODEMOS COMPRObAR ESTA AFIRMACION MIDIENDO DE "X" A "M" Y DE "Y" A "M" ESTAS DOS DISTANCIAS SERAN IGUALES, SI CAMBIAMOS EL SEGMENTO PQ DE SU SITIO A CUALQUIER OTRO, LAS DISTANCIAS CORRESPONDIENTES SEGUIRAN SIENDO IGUALES DE TAL FORMA M ES EL PUNTO MEDIO DEL SEGMENT XY
ANDRES FELIPE SAAVEDRA 11H
A PARTIR DEL TEOREMA DE LA MARIPOSA, PODEMOS AFIRMAR QUE LOS TRIANGULOS FORMADOS SON SEMEJANTES EN TODO MOMENTO AL ESTAR INSCRITOS EN LA MISMA CIRCUNFERENCIA....*-*
AUTORAS: SONIA PULIDO Y BIBIANA GALEANO (11ºH).
AL TRASLADAR LOS PUNTOS LOS TRINAGULOS DMA Y BMC SUS LADOS NO SON CONGRUNETES PERO SI SUS ANGULOS CON RESPECTO A LA CUERDA PQ
:D---- :)
sergio enrique silva
11H
los triangulos AMD y CDM son semejantes porque tienen los mismos vertices, y estan inscritos en la misma circunferencia a la misma distancia
M es el punto medio ya que es el radio de la circunferencia... y al partir de este punto para los dos triangulos, hace que sean iguales y congruentes
Katherine Garnica y Yanin Sanchez
mi opinion esque gracias a el teorema de la mariposa Que ambos triángulos son iguales porque poseen los mismo ángulos , la misma medida de sus lados y el segmento PQ actúa como eje de simetría , siendo el triangulo DAM el reflejo del triangulo BCM , tambien digo que una clave para saber que nuestra constuccion esta bien , es mover los puntos P y Q Y con esto no se debe ver alterada la figura ni los triangulo, los triangulos DAM y BCM teniendo movilidad siempre deben ser congruentes y triangulos semejantes
los triángulos DAM y BCM son semejantes, ya que la medida de sus ángulos es la misma y sus lados son diferentes pero proporcionales.
mi opinion esque gracias a el teorema de la mariposa Que ambos triángulos son iguales porque poseen los mismo ángulos , la misma medida de sus lados y el segmento PQ actúa como eje de simetría , siendo el triangulo DAM el reflejo del triangulo BCM , tambien digo que una clave para saber que nuestra constuccion esta bien , es mover los puntos P y Q Y con esto no se debe ver alterada la figura ni los triangulo, los triangulos DAM y BCM teniendo movilidad siempre deben ser congruentes y triangulos semejantes lesly meryed pinzon once h
NOMBRE: JUAN DAVID PIÑEROS TORRES. 11-H. PROF. FORO.
1. Podemos concluir que los triángulos DAM y BCM son semejantes en cualquier punto de la circunferencia, pero no son congruentes de esta misma forma puesto que la medida de sus lados correspondientes (AM-MC; DM-BM; AD-BC) no tienen las mismas longitudes mientras que movemos de sitio cualquiera de los puntos A,B,C ,D,P o Q.
Con la anterior conclusión me puedo oponer a lo que dice angie ximena puentes sanchez pues ella afirma que son congruentes, argumentando esta posición por la errada idea de que superponiendo los triángulos en cuestión, estos son “exactamente iguales”. Lo anterior es cierto UNICAMENTE cuando el segmento PQ pasa por el centro de la circunferencia, al igual que solamente en este caso (cuando PQ pasa por el centro de la circunferencia) el triángulo DAM es el reflejo del triángulo BCM.
2. * El segmento DA y BC No son congruentes siempre en cualquier posición de los puntos sobre la circunferencia, pues al medir sus distancias solo coinciden cuando PQ pasa por el centro de la circunferencia. En este punto TODOS LOS SEGMENTOS CORRESPONDIENTES DE LOS DOS TRIANGULOS (AM-MC; DM-BM; AD-BC) SON CONGRUENTES. Cumpliendo con la regla que AM/MC = DM/BM = AD/BC = 1
*por la misma comclucion en el primer punto me opongo a la afirmación de angie ximena puentes sanchez cuando dice que DAM y BCM son triángulos congruentes.
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Los segmentos no son exactamente de la misma medida, se diferencian en cuando sea por algunos milimetros pero nunca hay segmentos congruentes por consiguiente tampoco habran triangulos congruentes.
1. R/Acerca de los triàngulos DAM y BCM podemos decir que estos son congruentes: tienen sus àngulos y lados iguales. Los dos triàngulos son rectàngulos en M, o punto medio de segmento PQ, y son asì mismo escalenos.
Son congrentes porque uno de sus lados: CD y BA pasan por el punto M, que hace que los segmentos tengan la misma longitud.
2. R/ existen infinitos puntos en un segmento y asi tambien infinitos angulos semejantes.
3. R/ M ES EL PUNTO MEDIO DE EL SEGMENTO XY POR QUE SE ENCUENTRA EN EL SEGMENTO PQ Y EL PUNTO MEDIO DE ESTE SEGMENTO ES M
Los triágulos DAM y BCM, son congruentes cuando la cuerda PQ es el diametro de la circuferencia.
Y son semejantez ya que la ditancia de B a M dividida entre la distancia C a M, es equivalente a la división entre las distancias de D a M, y de A a M.
disBM:5,99 cm
disCM:3,07 cm
disDM:4,32 cm
disAM:2,22 cm
5,99 cm/3.07 cm = 1.95cm
4.32 cm/2.22 cm = 1.95cm
Juan Sebastián Lozano Ortiz
11H
TALLER No. 5
CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Y TEOREMAS ESPECIALES
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
1. Se puede afirmar de los triángulos DAM y BCM, son rectángulos e iguales y/o congruentes puesto que al superponer uno sobre otro son exactamente iguales, además al trazar una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento pq se puede ver que ambos triángulos son una reflexión del otro.
2. Posibilidades:
• Segmentos congruentes:
DA y BC
DC y BA
MD y MB
AM y CM
DX y BY
XA y YC
MQ y MP
XM y YM
PX y QY
PY y QX
• Triángulos congruentes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
• Ángulos congruentes:
XDM y YBM
ADC y CBA
AXM y MYC
DMA y BMC
DXM y BYM
BYQ y DXP
DMB y AMC
Triángulos semejantes:
No se encuentran triángulos semejantes en la construcción del teorema de la mariposa, puesto que si un objeto es semejante a otro tiene la misma forma pero un tamaño diferente, y en la construcción no se encuentran triángulos con la misma forma puesto que los ángulos de uno son mas grandes o mas pequeños que en los otros triángulos, a menos de que se considere una figura semejante a otra teniendo en la misma forma y en el mismo tamaño entonces se encontrarían los siguientes triángulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
3. Se pude afirmar que M es el punto medio del segmento XY puesto que si nos damos cuenta el segmento OM es perpendicular a el segmento XY, y a la vez el segmento PQ tiene una intersección de esta, permitiendo que de esta manera todo se de partiendo de M mostrando así que el punto M es el centro.
angie puentes 10, g
TALLER No. 5
Teorema de la mariposa
• ¿Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?
Son triángulos semejantes porque cumplen los tres criterios, ya que según el primer criterio, tienen dos pares de ángulos iguales respectivamente. El segundo criterio es que tiene un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. Y el tercer criterio tienen los tres lados proporcionales.
• Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Según los datos que se muestran en la construcción, sus segmentos, triángulos y angulas son congruentes.
Y tiene triángulos semejantes, según las razones dadas en el punto anterior.
• Explica por que M es punto medio del segmento XY. (Sugerencia: a partir del centro O de la circunferencia construye el triangulo OPQ y traza el segmento OM. Construye también el triangulo OXY)
M es el punto medio del segmento XY porque
Catalina Vergara-Natalia Vega- 11°F
TALLER Nº 5
TEOREMA DE LA MARIPOSA
1.¿Que podemos decir acerca de los triangulos DAM y BCM?
R/Los triangulos son congruentes ya que hay una correspondencia tal que sus partes correspondientes son de igual medida. Tambien por que tiene un ángulo igual y son proporcionales a los lados que lo forman
2. Explora todas las posibilidades de encontar segmentos congruentes, triangulos congruentes...
R/ Segmentos congruentes: DA-BC, DC-BA, PM-QM, PX-QY, XM-YM, DM-BM, DX-BY, CM-AM, XA-YC, PY-QX,
Triángulos congruentes: AXM-CYM, DMX-BMY, DMA.BCM.
Ángulos congruentes: XAM-YCM, XDM-YBM-ADM-CBM, DMA-BMC, BYM-DXM, MYC-MXA, BYQ-BXP, CYQ-AXP.
3.Explica por que M es punto medio del segmento XY.
R/La distancia de PM ES igual a la distancia de MO; al mover el punto medio dentro de la circunferencia la construccion no se altera.
DIANA PAOLA LEON VERGARA
11 G
Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?.
pienso que los triangulos son semejantes puesto que los angulos de ambos son iguales y tambien las razones de los lados correspondientes son iguales
yo lo comprove por medio de cabra con la herramienta para medir los segmentos dandome cuenta que la razon del aldo AB era la misma que la razon o podria decierse la division del lado A" Y B"
EJEMPLO:
LA DIVISION DE A SOBRE B
ERA 12/6= 2
Y LA DE A" Y B" ERA
6/3= 2
por lo que decimos que las razones correspondientes a sus lados son iguales y por tanto semejantes
ya que es distinto decir que son congruentes a que son semejantes.
otra razon por la que son semejantes es que dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En una figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
SANTIAGO AGUDELO BERNAL 11H
En cuanto a la relacion entre los triangulos DAM y BCM, veo que muchos han tenido confusiones con respecto a lo que significa congruencia o semejansa entre triangulos.
Como primera instancia, los triangulos congruentes tienen tanto los lados como los angulos (ambos correspondientes) iguales, es decir con la misma medida. Cuando movemos alguno de los vertices de los triangulos, en algunos momentos, no se puede estar seguro de si son iguales o no; si existe esta duda podemos recurrir a la herramienta de medicion de angulos y longitud. Ya con esto nos podemos dar cuenta q los lados correspondientes no son iguales y, por lo tanto, no son triangulos congruentes.
Los triangulos semejantes pueden cambiar su tamaño y su orientacion, pero no su forma. Para saber si son semejantes, tendremos q ver si cumplen las condiciones necesarias: los angulos correspondientes tienen la misma medida; y aunque sean de diferente tamaño, las razones de 2 lados correspondientes en los 2 triangulos debe ser igual.
1. Al medir los angulos, sabemos que los correspondientes tienen la misma medida. Ademas, en el punto M, hay dos angulos opuestos por el vertice(los lados del uno son rayos opuestos a los lados del otro), y estos tipos de angulos tienen la misma medida.
2. Para hallar la razon podemos coger, por ejemplo, la medida del lado CB y dividirla por la del lado MB y compararla con la de los lados correspondientes(AD y MD). Al hacer esto(herramienta longitud y calculadora), nos damos cuenta de que las razones son iguales, y lo siguen siendo aun si movemos alguno de los vertices.
Por lo tanto los triangulos son semejantes.
Puedo agregar como conclusion que dos triangulos inscritos en una circunferencia son semejantes, siempre y cuando el vertice de uno sea tambien el vertice del otro, y que los angulos formados por estos, sean angulos opuestos por el vertice.
Luisa Fernanda Sanchez 11ºF
En el segundo punto, hay que analizar posibilidades de encontrar angulos congruentes; una "estrategia" q se puede utilizar es buscar angulos inscritos en la circunferencia q subtiendan en un mismo arco:
un angulo inscrito es aquel que tiene su vertice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.
que subtiendan en un mismo arco significa que los puntos en los que cortan los lados de los angulos a la circunferencia, "encierren el mismo pedaso" de circunferencia.
Al hacer esta comparacion, encontramos que los angulos inscritos congruentes, son los correspondientes en los 2 triangulos.
gracias profesora Nidia
luisa sanchez 11ºF
TALLER No. 5
CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Y TEOREMAS ESPECIALES
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
1. Se puede afirmar de los triángulos DAM y BCM, son rectángulos y congruentes por que que al al trazar una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento por que se puede ver que ambos triángulos son una reflexión del otro,ademas superponer uno sobre otro son exactamente iguales.
2. Posibilidades:
• Segmentos congruentes:
AM y CM
DX y BY
XA y YC
MQ y MP
XM y YM
DA y BC
DC y BA
MD y MB
PX y QY
PY y QX
• Triángulos congruentes:
DXM y BCM
MXA y MYC
DAM y BCM
Ángulos congruentes:
•ADC Y ABC
•DAB Y BCD
Triángulos semejantes:
No se encuentran triangulos semejantes en la construcción del teorema de la mariposa, puesto que que si un objeto es semejante a otro tiene la misma forma pero un tamaño diferente, y en la construcción no se encuentran triangulos con la misma forma puesto que los angulos de uno son mas grandes o mas pequeños que en los otros triangulos, a menos de que se concidere una figura semejante a otra teniendo en la misma forma y en el mismo tamaño entonces se encontrarían los siguientes triangulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
3.M es el punto medio del segmento XY porque Ya que el segmento OM es perpendicular a XY, y a la vez el segmento PQ pasa por ella, siendo su mediatriz, por ello es el punto medio del segmento XY.
Marcela delgado 10 G
lo que decucimos pormedio de el teorema de la mariposa, es que los triangulos no son semejantes entre si. Podemos concluir que los triangulos DAM y BCM son iguales ya quelos dos segmentos ab y cd intersectan a m.
Estos dos Son distintos los triangulos DAM y BCM ya que los segmentos AB y CD no son de la misma medida y por esto podemos decir que los triangulos no son congruentes a menos que el segmento trazado fuera el radio de la circunferencia.
Camilo Osuna 11°F
Pablo moreno 11°F
lorena villalba 10G
TALLER # 5
1. de los triángulos podemos decir que son congruentes
2. Triángulos congruentes:
• (ADM,CBM)-(AQM,CPM)-(QLM.LMP)-(QDL,PLB)-(DLM,BLM)
Ángulos congruentes:
• (QLM,PLM)-(QDL,PLB)-(DAM,MCB)-(LQP,ABL)
Segmentos congruentes:
• (AD,CB)-(QL,PL)-(DM,MB)-(QM,PM)
TALLER No. 5
CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Y TEOREMAS ESPECIALES
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
1. Se puede afirmar de los triángulos DAM y BCM,congruentes por que que al al trazar una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento por que se puede ver que ambos triángulos son una reflexión del otro,ademas al superponer uno sobre otro son exactamente iguales.
2. Posibilidades:
• Segmentos congruentes:
AM y CM
DX y BY
XA y YC
MQ y MP
XM y YM
DA y BC
DC y BA
MD y MB
PX y QY
PY y QX
• Triángulos congruentes:
DXM y BCM
MXA y MYC
DAM y BCM
Ángulos congruentes:
•ADC Y ABC
•DAB Y BCD
Triángulos semejantes:
si concideramos una figura semejante a otra teniendo en cuenta la misma forma y en el mismo tamaño entonces se encontrarían los siguientes triangulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
3. M es el punto medio del segmento XY porque Ya que el segmento OM es perpendicular a XY, y a la vez el segmento PQ pasa por ella, siendo su mediatriz, por ello es el punto medio del segmento XY.
Marcela delgado 10 G
CESAR JULIANCAMACHO RAMIREZ
10ºG
TALLER 5
1) PODEMOS DECIR QUE ESTOS TRIANGULOS SON CONGRUENTES PORQUE TIENEN LA MISMA FORMA Y TAMAÑO.
2) ÀNGULOS CONGRUENTES: (DGB y CGP)
(DAG y BLG)
(ACG y PGL)
(DMB y AML)
Triángulos congruentes: ADG y GLB
CGD y PGB
DAM Y LMB
ACG Y GPL
Segmentos congruentes:
DM y BM
MQ y MP
PY y QX
XM y YM
CESAR JULIANCAMACHO RAMIREZ
10ºG
TALLER 5
1) PODEMOS DECIR QUE ESTOS TRIANGULOS SON CONGRUENTES PORQUE TIENEN LA MISMA FORMA Y TAMAÑO.
2) ÀNGULOS CONGRUENTES: (DGB y CGP)
(DAG y BLG)
(ACG y PGL)
(DMB y AML)
Triángulos congruentes: ADG y GLB
CGD y PGB
DAM Y LMB
ACG Y GPL
Segmentos congruentes:
DM y BM
MQ y MP
PY y QX
XM y YM
taller numero 5
trabajo individual
1.lo que obserbamos fue que los triangulos son congruentes por que sus lados y angulos son iguales ya que su punto medio en m y las cuerdas ab y cd al unirse haciendo ad y bc forman triangulos congruentes en medida de lados y de angulos
jairo alejandro velasquez 10 G
fabian roberto rodriguez 10 g
Es correcto el comentario que realiza la profesora Nidia en cuanto a mi conclusión frente a los triángulos, puesto que al llevar a cabo la realización de la propuesta de mover el punto P las suposiciones frente a los triángulos quedan únicamente validas para la posición inicial (y otras pocas opciones), ya que el punto al cambiar de lugar sin importar la dirección en que se mueva cambia por completo la construcción, en cuanto a los triangulo, ángulo y lo que se encuentra dentro de la circunferencia por la dependencia en la que se realizo la construcción en cuanto a P .
Teniendo la definición de congruencia de triángulos que son los que tienen sus lados y ángulos de la misma medida y la definición de semejanza de triángulos es que tienen sus ángulos iguales y sus lados pueden que no estén e la misma posición. Los triángulos DMA y BCM no son congruentes, ya que dependiendo de la posición de P y Q cambian sus medidas. Cuando la cuerda PQ es el diámetro en vez de la cuerda, si se puede afirmar que miden lo mismo los triángulos DMA y BCM.
NOMBRE: DANIELA SOLANO GÓMEZ Y VIVIANA GUTIÉRREZ MORENO (10 G)
1) Podemos decir que los triangulos DAM y BCM, son congruentes entre si, porque la medida de sus lados son congruentes, puesto que los lados AM y CM (tienen la misma medida), AD y CB (Tienen la misma medida),
DM y BM (Tienen la misma medida).
Si trazaramos el v{ertice de este triangulo, pasando por M y el punto medio de dicha circunferencia, podemos ver que los triangulos DAM y BCM, son el reflejo del otro.
angie puentes 10 g
Las afirmaciones que hacen acerca de mis conclusiones pienso que son correctas, ya que podemos ver que la medida de los triángulos depende del lugar en donde se ubique el punto P porque hace que varíe precisamente la medida de los mismos, por ello solamente podemos decir que dependiendo de este punto podemos saber si los triángulos son congruentes, es decir, del mismo tamaño; o si son semejantes, es decir, que tienen la misma forma pero diferente tamaño.
al realizar el ejercicio podemos concluir que los triangulos DAM y BCM son congruntes ya que uno es la reflexion del otro
1. Triángulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
2. lados congruentes:
DA y BC
DC y BA
MD y MB
AM y CM
DX y BY
XA y YC
MQ y MP
XM y YM
PX y QY
PY y QX
Kevin Moreno
10ºG
1.De los triangulos DAM y BCM podemos concluir que son semejantes ya que tienen la misma forma y por eso mismo sus angulos son iguales.
*Tambien son semejantes puesto que la razon entre sus lados correspondientes son iguales.
2.Triangulos congruentes: No hay porque los triangulos que se encuentran en este teorema son semejantes.
*Angulos congruentes:Los angulos de los triangulos DAM y BCM son congruentes porque estos dos triangulos son semejantes y por eso sus angulos tienen que ser congruentes.
*Triangulos semejantes:Los triangulos DAM y BMC son semejantes por que las razones de sus lados correspondientes es igual y sus angulos congruentes.
nuestro punto de vista es q los triangulos de DCM Y BCM son semejantes ya q por q al dividirlo da el
ejemplos:
ÀNGULOS CONGRUENTES: (DGB y CGP)
(DAG y BLG)
(ACG y PGL)
(DMB y AML)
Triángulos congruentes: ADG y GLB
CGD y PGB
DAM Y LMB
ACG Y GPL
Segmentos congruentes:
DM y BM
MQ y MP
PY y QX
XM y YM
william david perez10g
jorge luis soler 10g
1. lo que podemos decir de los triangulos ADM y BCM es que son semejantes
2. Solo hay angulos congruentes y triangulos semejantes:
.Angulos:
AMD congruente con CMB
MDA congruente con MBC
DAM congruente con BCM
.Lados:
AD similar con CB
DM similar con BM
MA similar con MC
3.por que los triangulos OPQ y OXY estan ubicados sobre una misma altura
NOMBRES: DANIELA SOLANO GÓMEZ Y VIVIANA GUTIERREZ (10 G)
♥ Segmentos Congruentes:
AM Y CM;
AD Y BC;
MX Y MY;
AX Y CY.
♥ Triangulos Congruentes:
DAM Y BCM;
AMX Y CMY;
DMX Y BMY.
♥Triangulos semejantes:
ACM Y BDM.
oscar diaz 10 g
daniel sarmiento 10g
Lo que puedo observar es que los triangulos tiene congruencia ya que sus lados al parecer con sus angulos tienen similitud, su punto medio es m y las cuerdas cd y ab se unen y hace una llamada ad y bc que forman congruencias a medida de los lados y los angulos.
2 ÀNGULOS CONGRUENTES DGB y CGP DAG y BLG ACG y PGA DMB y AML
Triángulos congruentes: ADG y GLB,
CGD y PGB, DAM Y LMB, ACG Y GPL.
Segmentos congruentes:
DM y BM, MQ y MP y QX, XM y YM
3.3. su distancia de P a M tiene una similitud igual a la distancia de M a O; al cambiar de lugar el punto medio entre la circunferencia, la construccion cambia de lugar sin alterar los triangulos.
Presentado por: daniel guiza, sebastian ramos 10-g
1.1. Se puede afirmar de los triángulos DAM y BCM, son rectángulos y congruentes por que que al al trazar una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento por que se puede ver que ambos triángulos son una reflexión del otro,ademas superponer uno sobre otro son exactamente iguales.
2. hay muchas posibilades de encontrar segmentos congruentes, triangulos congruentes,angulos congruentes,triangulos semejantes y son:
°segmentos congruentes:
AM y CM,DX y BY,XA y YC,MQ yMP,
XMy YM,DA y BC,DC y BA,MD y MB
PX y QY,PY y QX
°triangulos congruentes:
DXM y BCM
MXA y MYC
DAM y BCM
°angulos congruentes:
ADC Y ABC
DAB Y BCD
°triangulos semejantes:
DAM y BCM
DXM y BCM
MXA y MYC
3.explica por qe m:
La distancia de PM ES igual a la distancia de MO; al mover el punto medio dentro de la circunferencia la construccion no se altera.
COmo primera medida al analizar los triangulos C-B-M y A-D-M, pudimos establecer diferentes calculos en los cuales pudimos establecer relaciones de semejansa
de triangulos y preporcionalidad en sus lados.
semejansa:
seg A-D= 11.41 cm
seg A-M= 4.79 cm
Seg B-C= 9.91 cm
Seg C-M= 4.16 cm
estableciendo la razon entre los lados se presenta que:
B-C/A-D= C-M/A-M
B-C/A-D= 0.87 cm
C-M/A-M= 0.87 cm
Esto nos comprueba que estos triangulos son semejantes, pues al ralizar el movimiento del segmento P-Q, el resultado de la razon entre B-C/A-D y C-M/A-M siempre sera igual.
Proporcionalidad:
Al dividir los dos segmentos de los angulos entre si se puede establecer si los lados son proporcionales a los del otro triangulo es decir:
B-C/C-M= A-M/A-D
9.91 cm/ 4.16 cm = 11.41 cm/4.79 cm
2.38 cm= 2.38 cm
Esto nos confirma que los segmentos (A-M,C-M) y (A-D, C-B) son proporcionales
2- Los angulos B y D siempre son congruentes en este caso se ve que tienen un valor de 24.1 grados, y los angulos C y A también lo son en este caso 52.3 grados, los dos triangulos nunca podran ser congruentes al desplazar PQ
3- al ser los triangulos semejantes los, lados (cm-am)y (cb-ad), tambien lo son entonces al trazar los lados cb y ad se obliga a que tengan una distancia proporcional que al cortar a p,q, tendrain una medida igual con respecto al inicio del trazo de los segmentos es decir a m.
Laura Stefania Lopez Lara
David Andrés Zabala Parra
Curso: 10G a mucho orgullo!
1. respecto al teorema de la mariposa podemos decir acerca de los triangulos DAM y BCM que son semajantes porque asi no tengan el mismos tamaño ni medidas su forma es igual, esto depende de el punto en la circunferencia donde se ubiquen las cuerdas AB y CD que dan origen a los triangulo lo cual genera que las medidas de los lados sean diferentes y por lo tanto no seasn congruentes.
Att andrea florez y ana garcia 10 g
lo principal para tener claro el trabajo realizado es saber que son triangulos congruentes y semejantes
los triangulos congruentes son los casos en que 2 o más triángulos presentan ángulos congruentes o de igual medida, así como también lados iguales aunque no necesariamente en la misma posición.
y los triangulos semejantes sonUna composición de una isometría (o sea, una rotación seguida (quizás) de una reflexión o simetría axial) con una homotecia. Puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no altera su forma
asi que segun la construccion realizada los triangulos que la componen son semejantes ya que al hacer la construccion en cabri y al utilizar la herramienta medida de angulo y medida de longitud se puede ver que sus angulos y sus lados miden parecido pero no exactamente igual
att: camilo marin curso:11 f
con respecto a los triángulos DAM y BCM, puede decir que son triángulos semejantes, ya que al utilizar la herramienta de longitud, nos damos cuenta que la medida de los lados de los triángulos no son las mismas, razón por la cual no son congruentes, pero, si utilizamos la herramienta de medida de ángulos, nos podemos dar cuenta que sus ángulos son iguales, lo cual indica sus semejancia. también lo podemos probar haciendo la razón con cualquiera de los lads de los triángulos, y comprobaremos que en ambos triángulos es la misma.
para encontrar segmentos congruentes y triángulos congruentes, se tendria que tomar a M como punto central de la circunferencia, por lo tanto el segmento PQ será el diametro de la circunferencia, y de esta forma, al utilizar las herramientas de medida de ángulos y de longitud, comprobaremos que; AD=BC; AM=BM=DM=CM, además sus ángulos son iguales, por lo tanto los triángulos DAM y BCM son totalmente iguales y congruyen.
con respecto a como hallar ángulos congruentes, pues nos damos cuenta que con el teorema de la mariposa siempre obtenemos triángulos semajntes, lo que indica que sus ángulos son congruentes sean los triángulos que sean.
• El triangulo DAM es semejante al BCM porque (tienen dos pares de ángulos iguales respectivamente) el ángulo ADM tiene una medida de 44.5 grados y este es igual al ángulo CBM, así mismo el ángulo AMD tiene su medida igual al ángulo CMB.
NATALIA VEGA GUZMAN-CATALINA VERGARA CRUZ-11ºF
Cuando se realiza el teorema de la mariposa, se puede decir a simple vista que los triangulos DAM y BCM, son exactamente iguales, sin embargo al medir los segmentos o lados, asi como los angulos usando las herramientas de cabri, nos damos cuenta de lo siguiente:
1. Las longitudes de los triangulos DAM y BCM no tienen las mismas medidas, pero se relacionan en cuanto a que tienen la misma forma, además la razón entre sus lados es la misma: D/M=C/M; A/D=B/C; A/M=B/M.
2. la mediada de los angulos de los triangulos DAM y BCM, son identicas
debido a que mide lo mismo, además si se superpone un angulo encima del otro se observa como si fuera uno solo, por lo tanto se concluye
que los angulos de los triangulos DAM y BCM son congruentes.
David Leonardo Lopez Gonzalez 11F
los triangulos DAM y BCM son semejantes.
Mi afirmación inicial de los triángulos congruentes se daba con la razón de que solo tomaba en cuenta su posición inicial, es decir, la posición que este adoptaba en el momento de realizar la construcción , y al tener en cuenta que un Ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados cortan a la misma, se pude afirmar que realmente los triángulos nombrados y sus ángulos son validos, pero al tener en cuenta que si se afirma que son congruentes unos con otros (respectivamente), se declara que son exactamente iguales sin importar su posición, cuestión que al mirar y comparar con los ángulos mencionados no son realmente congruentes, siempre y cuando se muevan los segmentos que en estos interfieren.
angie ximena puentes sanchez 10 g
Con respecto a los triangulos DAM y BCM podemos afirmar que no hay congruencia, sino semejanza entre ellos. Esto lo podemos demostrar midiendo los segmentos correspondientes de cada triangulo, observando que las medidas de estos no es igual. Si los triangulos fueran congruentes sus lados y angulos correspondientes serian iguales, pero esto no sucede al mover los triangulos en la circunferencia inscrita (excepto cuando la recta PQ pasa por el centro de la circunferencia, ya que alli los dos triangulos si son totalmente iguales).
La semejanza de estos dos triangulos la podemos encontrar al hallar la razon entre los lados correspondientes (usando la herramienta longitud y calculadora de Cabri) y comparando las medidas de los angulos correspondientes de cada triangulo; ya que encontramos que estas son iguales, y con mayor razon el angulo ubicado en el vertice M de cada triangulo ya que estos al ser "opuestos por el vertice" tienen la misma medida.
Finalmente, concluyendo, puedo decir que en una circunferencia, dos triangulos inscritos que tenga un vertice en comun son congruentes entre si siempre, y solo son iguales si dicho vertice es el centro de la circunferencia.
SEBASTIAN ALARCON 11ºF
segun los triángulos DAM y BCM, digo que son triángulos semejantes, ya que al medirlos, es evidente que la medida de sus lados no son iguales, por ende no son congruentes.
Pero al medir sus ángulos, vemos que sus ángulos son iguales, y podemos decir q son ángulos semejantes.
-----> SANTIAGO SAMPER 11F
TEOREMA DE LA MARIPOSA
acerca de los triangulos DAM y BCM puedo decir que son congruentes... ya que hay una correspondencia tal que sus partes correspondientes tiene igual medida.Tambien tiene un ángulo igual y son proporcionales a los lados que lo forman
La distancia de PM es igual a MO; al mover el punto medio dentro de la circunferencia la construccion no se altera.
maria paula cepeda 11f
1. los triangulos BCMyDAM son semejantes en los puntos de la circunferencia pero por la medida de sus angulos (DM-BM, AM-MC, ADBC) no tiene las misma longitudes puesto que no son congruentes.
2. los segmentos BCyDA si se miran sus puntos en la circunferencia y si se cambia de poscionestos no son congruentes por que al medir la distancia la unica que coinside es PQ y solo cuando estan pasando por el contro de la circunferencia
att: sebstian torres ayala 11-F
DAM y BCM son semejantes porque sus lados no son exactamente iguales. Si fueran congruentes serian completamente iguales. Esto se puede comprobar midiendo cada uno de sus lados.
Con esta misma herramienta medimos los ángulos de los 2 triangulos y vemos que son iguales, por lo tanto se demuestra que son semejantes.
Para que hayan triángulos, segmentos y angulos congruentes, M tendría que ser el centro de la circunferencia,
y PQ vendría siendo el diámetro de esta. Todos los tríangulos que tengan a M como vertice (solo cuando M es el centro de la circunferencia) serán congruentes
y por lo tanto sus ángulos y segmentos también.
Jessica Paola Martínez Torres 11F
1 ¿Que podemos decir acerca de los triangulos DAM y BCM? argumenta tu respuesta.
R/ los triangulos DAM y BCM, son semejantes porque por ejemplo al poner en razón al segmento CB y al segmento AD se observa que se guarda la proporcion entre cada lado es decir que sus angulos miden lo mismo pero sus lados no, por tanto son semejantes más no congruentes.
2 explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes , angulos congruentes, triangulos semejantes.
R/ Si tomamos el punto M como centro de la circunferencia, podemos observar que los triangulos AMX y BMY son congruentes por que tienen la misma medida en sus lados y en sus ángulos, esto mismo sucede con los triangulos CMX y YMD.
Ahora si ponemos a M como un punto aleatorio en la circunferencia notamos que los triangulos anteriormente nombrados pasan de ser congruentes a ser semejantes ya que al medir sus angulos nos damos cuenta de que son los mismos pero definitivamente sus lados no lo son.
3 explique porque M es punto medio del segmento XY.
R/ porque al construir el triangulo OPQ, trazar el segmento OM, y construir tambien el triangulo OXY
podemos observar que se crean tres triangulos y el triangulo OXY es isóceles y el segemento que pasa por MO lo corta justamente en el vertice. Ademas PQ y XY son proporcionales, es decir P/Q = X/Y.
Natalia dominguez García
Ana Maria Medina
11F
ORGULLOSISIMAMENTE
En el teorema hay 2 términos fundamentales que si no se identifican primero, no s epodrá entender el teorema. Semejanza son 2 cosas iguales pero que estan a diferentes escala. Congruencia es que 2 cosas son completamente iguales.
Entonces, los triángulos DAM y BCM son semejantes porque sus lados no son iguales, pero al medir sus ángulos vemos que si son iguales. Por lo tanto se puede decir que un tríangulo es un poco mas grande que el otro. Esto lo podemos comprobar con la herramienta de Cabri que mide distancias.
Ahora, solo hay una forma de que hayan triangulos, segmentos y ángulos congruentes: que M sea el centro de la circunferencia. Cuando M es el centro, y a la vez un vértice de 2 triángulos, al trazar una recta perpendicular por M con respecto a PQ (que és el diámetro de esa circunferencia, se va a crear un eje de simetría, lo que comprueba que los 2 ángulos son completamente iguales.
Diego Andrés Pérez Lara 11F
Con el teorema de la mariposa podemos deducir que los triangulos inscritos en una circunferencia (en este caso DAM y BCM) que comparten un vertice en comun, no son totalmente iguales (congruentes) como se cree (a menos que dicho vertice sea el centro de la circunferencia, ya que en este caso los triangulos si son congruentes en todo sentido, refiriendonos a los lados y angulos correspondientes), sino son semejantes ya que la medida de sus angulos correspondientes es igual (por ejemplo el angulo opuesto por el vertice) y la razon entre los lados correspondiente en los dos triangulos es la misma siempre.
ALEJANDRA MONCALEANO 11ºF
OSCAR ANDRADE
11F
Con respecto a la actividad de la mariposa podemos darnos cuanta gracias a cabri geometry que los triangulos DAM y BCM son congruentes ya que al tomar la razon de sus lados obtenemos el mismo valor pero no son semejantes porque la medida de sus lados no es la misma(lo cual vimos con la herramienta de longitud en cabri).
Por otro lado esto sucede porque la cuerda PQ no es el diametro de la circunsferencia porque si lo fuera los triangulos DAM y BCM serian semejantes con angulos iguales
M es el punto medio entre XY debido a que los triangulos DAM y BCM tienen los angulos iguales y los angulos AMP con AMQ o CMP con CMQ completar los 180º hacen que la distancia entre M y X y Y sea la misma.
RESPECTO AL TEOREMA DE LA MARIPOSA, PRIMERO DEBEMOS DEFINIR TRIÁNGULOS CONGRUENTES Y SEMEJANTES.
LOS PRIMEROS SON TRIANGULOS QUE TIENEN TANTO SUS ANGULOS COMO SUS LADOS CORRESPONDIENTES DE IGUAL MEDIDA, CON ESTO PODEMOS VER QUE NO SE PRESENTA EN ESTE TEOREMA; PUES SI UTILIZAMOS LA HERRAMIENTA MEDIDA (LONGITUD O DISTANCIA) O (MEDIDA DE ANGULO)VERIFICAMOS QUE TIENEN DIFERENTE MEDIDA. POR EL CONTRARIO LOS TRIANGULOS SEMEJANTES PUEDEN PRESENTAR UN TAMAÑO DISTINTO PERO DEBEN CONSERVAR LA MISMA FORMA BÁSICA Y COMO EN LOS TRIANGULOS ESTA(LA FORMA) SOLO DEPENDE DE SUS ANGULOS ENTONCES DECIMOS QUE SUS ANGULOS DEBEN SER IGUALES DOS A DOS; ADEMAS LAS RAZONES DE LOS LADOS CORRESPONDIENTES SON IGUALES (USAMOS HERRAMIENTA MEDIDA-CALCULADORA PARA VERIFICAR LAS RAZONES DE ).USANDO ESTO DETERMINAMOS QUE LOS TRIANGULOS DAM Y BCM SON SEMEJANTES.
NATHALY PINZON. 11ºF
ANDRES FELIPE MEDINA QUIÑONES 11F
se puede concluir que existe una semejanza de triangulos. esta existe en los triangulos AMD y CMB. cuando movemos el punto P alrededor de la circunferencia los dos triangulos tienden a cambiar la longitud de sus lados pero lo que no cambia es la medida de sus angulos.
-existe la congruencia de angulos pero no de lados, por eso hay semejanza de triangulos.
nota:cuando PQ intersecta a el punto medio de la circunferencia, si hay una congruencia entre los triangulos que forman la mariposa.
ANDRES FELIPE MEDINA QUIÑONES
11F
TEOREMA DE LA MARIPOSA....
1 LOS TRIANGULOS SON TRIANGULOS ISOSCELES POR QUE TIENEN POR LO MENOS DOS LADOS CONGRUENTES AUNQUE AM S CLASIFICAN EN LA CATEGORIA DE TRIANGULOS OBTUSANGULOS PUESTO QUE TIENEN UN ANGULO MAYOR A 90 GRADOS, AM S SON SEMEJANTES.
2podemos tomar tanto los triangulos AMX. DMX,BMY y CMY, PARA FORMAR DISTINTAS CLASES DE TRIANGULOS, TOMANDO LOS TRIANGULOS Y ORGANIZANDOLOS PODREMOS DECIR QUE LOS TRIANGULOS SON TANTO COMPLEMENTARIOS COMO GONGRUENTES
3 AL MOMENTO DE DIVIDIR EL SEGMENTO INICIAL PQ TOMAMOS UN PUNTO MEDIO EXACTO EL CUAL HACE QUE CUALQUIER DIVISION SIGUIENTE QUE SE HAGA TENGA LAS MISMAS MEDIDA EXATACTAS Y LOS LADOS SEAN IGUALES
MARIANA QUINTIN 11 F
¿Que podemos decir de los triangulos DAM y BCM?
Estos dos triangulos son semejantes, ya que en sus lados correspondiente se mantiene una proporcionalidad y sus angulos correspondientes siempre van a tener la misma medida. No son congruentes ya que sus lados correspondientes no son iguales, la unica forma de que estos dos triangulos sean congruentes es que M (vertice en comun de los dos triangulos) sea el centro de la circunferencia, en este caso y solo asi los dos triangulos son completamente iguales, ademas de esto al trazar una recta perpendicular a al punto M se traza un eje de simetría, comprobando asi lo anteriormente dicho.
Lina Cuervo 11ºF
1. Bueno, como todos podemos observar en el teorema de la mariposa los triángulos DAM y BCM presentan un tamaño diferente sin importar que modifiquemos el radio de la circunferencia o movamos las cuerdas PQ, AB o CD (sin alterar el teorema), lo cual hace que estos triángulos no sean congruentes pues para lo que fueran sería necesario que sus lados así como sus ángulos tuvieran la misma medida. Por el contrario observamos que dichos triángulos sí tienen la misma forma pues sus ángulos internos tiene la misma medida, también logramos ver que el ángulo CMB esta unido y opuesto por el vértice del triangulo con el ángulo AMD (de M nacen los rayos de de dos ángulos opuestos por el vértice que tienen la misma medida), por lo tanto podemos afirmar que los triángulos DAM y BCM son semejantes ¿Cómo lo comprobamos?, podemos usar la herramienta medida y medir dos de los lados de cada triángulo teniendo en cuenta que deben ser los mismos lados en el uno que en el otro luego podemos hacer la relación de triángulos semejantes y comprobar que las razones son iguales y por lo tanto comprobar que DAM y BCM sí son semejantes.
2.Explorando el teorema podemos decir que no se encuentran segmentos congruentes, porque lo afirmo, pues como saben estos segmentos son aquellos que tiene la misma medida y en el teorema no encontramos segmentos con esta característica, sin embargo cuando trazamos las cuerdas CB y DA y encontramos los puntos de corte X y Y en PQ y cuando medimos la distancia entre X y el punto medio M encontramos que esta medida es igual a la del segmento YM, esta es para mí la única posibilidad de segmentos congruentes.
Por otro lado tenemos los triángulos congruentes, ya vimos que los triángulos DAM y BCM no pertenecen a este grupo; en cambio al trazar los segmentos QO, MO y PO vemos que se forman dos triángulos QMO y OMP estos triángulos comparten un mismo lado y por lo tanto es de la misma medida para los dos, al medir los otros dos lados de cada triangulo nos damos que sus medidas son iguales lo que hace que éstos triángulos (QMO y OMP) sean congruentes. Si trazamos dos segmentos más XO y YO observamos que se cumple la situación anterior haciendo a los triángulos XOM y MOY también semejantes.
Ya sabemos que los triángulos DAM y BCM son semejantes. Ahora si trazamos dos nuevos segmentos QB y PD obtenemos dos nuevos triángulos QXB y YPD vemos que estos triángulos tiene la misma forma ¿cómo lo comprobamos? pues la medida de los ángulos internos que forman el triangulo QXB es igual a la medida de los ángulos internos que forman el triangulo PYD, lo único en que difieren estos triángulos es en su tamaño, podemos afirmar entonces que QXB Y PYD son semejantes, esto es las razones de dos de sus lados son iguales: QX/BX=YP/YP. Si por ejemplo trazamos los segmentos QO y PO encontraremos el punto de intersección entre CB y QO al que podemos llamar T y el punto de intersección entre AD y PO al que llamaremos H con esto formaremos dos nuevos triángulos QTB y PHD que también son semejantes, es más si los acercamos y los juntamos vemos que sus vértices T y H formaran dos ángulos opuestos de la misma medida unidos por el vértice, una característica de los triángulos semejantes.
Al haber triángulos semejantes y congruentes observamos que las medidas de sus ángulos internos son iguales las unas con las otras por lo que podemos afirmar que hay varios ángulos congruentes.
1. Bueno, como todos podemos observar en el teorema de la mariposa los triángulos DAM y BCM presentan un tamaño diferente sin importar que modifiquemos el radio de la circunferencia o movamos las cuerdas PQ, AB o CD (sin alterar el teorema), lo cual hace que estos triángulos no sean congruentes pues para lo que fueran sería necesario que sus lados así como sus ángulos tuvieran la misma medida. Por el contrario observamos que dichos triángulos sí tienen la misma forma pues sus ángulos internos tiene la misma medida, también logramos ver que el ángulo CMB esta unido y opuesto por el vértice del triangulo con el ángulo AMD (de M nacen los rayos de de dos ángulos opuestos por el vértice que tienen la misma medida), por lo tanto podemos afirmar que los triángulos DAM y BCM son semejantes ¿Cómo lo comprobamos?, podemos usar la herramienta medida y medir dos de los lados de cada triángulo teniendo en cuenta que deben ser los mismos lados en el uno que en el otro luego podemos hacer la relación de triángulos semejantes y comprobar que las razones son iguales y por lo tanto comprobar que DAM y BCM sí son semejantes.
2.Explorando el teorema podemos decir que no se encuentran segmentos congruentes, porque lo afirmo, pues como saben estos segmentos son aquellos que tiene la misma medida y en el teorema no encontramos segmentos con esta característica, sin embargo cuando trazamos las cuerdas CB y DA y encontramos los puntos de corte X y Y en PQ y cuando medimos la distancia entre X y el punto medio M encontramos que esta medida es igual a la del segmento YM, esta es para mí la única posibilidad de segmentos congruentes.
Por otro lado tenemos los triángulos congruentes, ya vimos que los triángulos DAM y BCM no pertenecen a este grupo; en cambio al trazar los segmentos QO, MO y PO vemos que se forman dos triángulos QMO y OMP estos triángulos comparten un mismo lado y por lo tanto es de la misma medida para los dos, al medir los otros dos lados de cada triangulo nos damos que sus medidas son iguales lo que hace que éstos triángulos (QMO y OMP) sean congruentes. Si trazamos dos segmentos más XO y YO observamos que se cumple la situación anterior haciendo a los triángulos XOM y MOY también semejantes.
Ya sabemos que los triángulos DAM y BCM son semejantes. Ahora si trazamos dos nuevos segmentos QB y PD obtenemos dos nuevos triángulos QXB y YPD vemos que estos triángulos tiene la misma forma ¿cómo lo comprobamos? pues la medida de los ángulos internos que forman el triangulo QXB es igual a la medida de los ángulos internos que forman el triangulo PYD, lo único en que difieren estos triángulos es en su tamaño, podemos afirmar entonces que QXB Y PYD son semejantes, esto es las razones de dos de sus lados son iguales: QX/BX=YP/YP. Si por ejemplo trazamos los segmentos QO y PO encontraremos el punto de intersección entre CB y QO al que podemos llamar T y el punto de intersección entre AD y PO al que llamaremos H con esto formaremos dos nuevos triángulos QTB y PHD que también son semejantes, es más si los acercamos y los juntamos vemos que sus vértices T y H formaran dos ángulos opuestos de la misma medida unidos por el vértice, una característica de los triángulos semejantes.
Al haber triángulos semejantes y congruentes observamos que las medidas de sus ángulos internos son iguales las unas con las otras por lo que podemos afirmar que hay varios ángulos congruentes.
BRYAN D. UMBARILA R. 11ºF
Los triangulos DAM y BCm son semejantes, sin lugar a dudas, ya que sus lados correspondientes no son exactamente iguales, si fuera de esta forma ambos triangulos serian congruentes (cosa que solo sucede cuando el segmento PQ pasa por el centro de la circunferencia, o dicho de otra forma el punto M es el centro de la circunferencia).
La semejanza en ambos triangulos la encontramos al usar, en primera instancia, la herramienta de medicion de angulos, con la que comprobamos que los angulos correspondientes de ambos triangulos siempre son iguales.
Y, en segunda instancia, al usar la herramienta de medicion de distancias y la calculadora, concluimos que siempre hay presente una proporcionalidad entre los lados correspondientes de dichos triangulos.
Alejandra Cuervo 11ºF
puedo concluir que con respeto a los triangulos ADM y BCM, son triangulos semejantes; puesto que si medimos la longitud de sus lados nos damos cuenta que dicha medida es totalmente distinta, lo que da a entender que no es congruente (los triangulos congruentes contienen las mismas medidas de sus longitudes y de sus angulos iguales). pero cuando realizamos la medida de los angulos nos damos cuenta que es la misma; lo cual indica su semejanza.
si cojemos el punto M como punto medio de la cuerda PQ, se puede observar que los triangulos AMX y BMX son congurentes debido a que estos triangulos tienen la misma medida tanto en sus angulos como en sus lados. El punto PQ seria el diametro de la circunferencia.
con el teorema de la mariposa puedo concluir que los triangulos que estan incritos en una circunferencia que comparten un mismo vertice no son del todo iduales. por lo tanto son semejantes (medida de angulos iguales)
Laura Fernanda Cañon
11-F
Con respecto a los triángulos DAM y BCM puedo afirmar que estas dos figuras son semejantes siempre y cuando la cuerda PQ no pase por el centro del circulo siendo esta el diámetro del mismo, la semejanza de los triángulos la podemos comprobar por medio del postulado de semejanza lado-Angulo-lado, el cual dice que es necesario comprobar la igualdad entre las razones de 2 de los lados respectivos entre los dos triángulos y la igualdad del ángulo contenido por estos dos lados. Esto fue comprobado por las herramientas de cabri, las cuales nos permitieron realizar las medidas de los ángulos y comprobar su igualdad, también nos permitió conocer las medidas de los segmentos y las razones respectivas entre estos en los dos triángulos comprobando que eran iguales, por lo tanto semejantes.
Con ayuda de las medidas ya realizadas en cabri (medida de los ángulos, los segmentos y las razones necesarias) pude encontrar la congruencia de los triángulos cuando el segmento PQ pasa por el centro del circulo, ya que todos los ángulos del triangulo son iguales y la razón entre sus lados respectivamente es igual a 1
Leonardo Garzón Rodríguez
11ºF
con respecto a los triángulos DAM y BCM, puedo decir que son triángulos semejantes,no congruentes, ya que al utilizar la herramienta de longitud, nos damos cuenta que la medida de los lados de los triángulos no son las mismas,
si los triangulos fuesen congruentes como algunos compañeros opinan tendrian que tener tanto los angulos como los lados iguales, para verificarlo recurrimos a la herramienta de medicion de angulos y longitud y podremos verificar lo dicho anteriormente.
los triangulos son semejantes debido a que cumplen la condicion que dice que los angulos de un triangulo semejantes tienen la misma medida; y aunque sean de diferente tamaño, las razones de 2 lados correspondientes en los 2 triangulos debe ser igual
A simple vista pareciera que los triángulos DAM y BCM son congruentes, pero si usamos la herramienta de distancia de cabri, podemos ver que no lo son, porque sus lados no son iguales, por lo tanto medimos sus angulos y podemos ver que si son iguales y llegamos a la conclusion de que los triangulos son semejantes, porque uno es un poco mas grande que el otro. La unica forma de que DAM y BCM sean congruentes es que PQ pase por el centro del circulo.
Liebermann Lozano 11F
Con respecto al TeOrEMa De La MaRiPOsA concluímos que los triangulos que se forman son semejantes pero no congruentes ya que si cambiamos los puntos A,B,C, D, P ó Q cambian las longitudes de sus lados pero no los ángulos que estos forman, lo cual es la base de la conclusión ya que para que un triangulo sea congruente la medida de sus lados necesariamente tienen que ser iguales.
Por este motivo no estamos deacuerdo con lo planteado por •Carolina Consuegra• que afirma que los triangulos son congruentes mas no semajantes, creemos que estos es ilógico ya que si un triangulo es congruente obligatoriamente es semenjante.
aTt:
•AnGéLIcA lOZaNo•
•LaUrA nIÑo•
11°F =)
Con respecto al Teorema De La mariposa, puedo decir que los triangulos DAM y BCM, son semejantes entre si.
Esto lo podria demostrar midiendo el segmento de cada triangulo y observando que las medidas de estos no sean iguales(esto o hacemos con la herramienta de longitud). Aunque hay una exepcion y se da al mover la circunferencia hecha, en que se encuentran los triangulos,esta se podrian acomodar hasta que estos quedaran congruentes,pero no seria el trabajo original.
Hay angulos congruentes y lados semenjantes:
Angulos: lados:
AMD=CMB AD similar CB
MDA=MBC DM " " BM
DAM=BCM MA " " MC
En conclusion siempre obtenemos triangulos semejantes, lo que no demuestra que sus angulos son congruentes, pero esta se da en este Teorema.
De avuerdo a la construccion que hice en cabri observe que los triangulos que estan en los puntos D, A, M y B,C,M, osea los triangulos DAM y BCM no son congruentes, porque al usar la herramienta Distancia y Longitud los lados de cada triangulo no son las mismas, por tanto su congruencia no se da, pero por su forma se puede decir que son semjeantes porque tienen una semajanza en su forma, entonce lo demostre usando la herramienta marca de ángulo y me pude dar cuenta que sus angulos son iguales, en conclusion son semjenates, tambien usando la herramienta calcular se puede hallar la razon de cualquiera de los lados de los triangulos DAM y BCM, para comprobar que en ambos trianbgulos es la misma. En conclusion el teorema de la miriposa nos ayuda a identificar que los triangulos que resultan al trazar los segmentos que pasan por el punto medio de una circunferencia y que corten en X y Y son semejantes pues sus angulos son iguales y sus forma tiene un parecido en sus lados.
Cristian Javier GArcia 11F
Juan David Galvis Ramirez
10G
1.
los triangulos DAM y BCM son congruentes por que tiene la misma forma e igual tamaño, al igual q sus angulos.
2.
segmentos congruentes:
DA y BC
DC y BA
AM y CM
PX y QY
PY y QX
triangulos congruentes:
DAM y BCM
DXM y BCM
triangulos semejantes:
no hay por q los triangulos formados pr este teorema son cengrientes por este motivo no es posible encontrar triangulos congruentes
TALLER 5
NOMBRE: Andrès Urrego nietoPIMIENTO
CURSO: 10G
FECHA: 10/05/2008
DESARROLLO
1.Despues de medir los segmentos, nos podemos dar cuenta, que no son congruentes.Pero al hallarle proporción relacionando los lados de los triángulos DAM y BCM, podemos concluir que estos triángulos son semejantes, debido a que la proporción de los lados, es la misma.
2.SEGMENTOS CONGRUENTES:
( Estas observaciones las hacemos con base en las mediciones).
PX y YQ.
XM y YM.
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
No hay.
ÁNGULOS CONGRUENTES
AMX y BMY.
CMY y DMX.
ADC y ABC.
DAB y DCB.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
DAM Y BCM.
XAM Y YCM.
DMX Y BMY.
3. Ya que los Triángulos POQ y XOY son isóceles, los segmentos OM y PM, son perpendiculares y XM = YM.
es andres urrego nieto
sin pimiento
Al observar el teorema de la mariposa puedo decir que no podemos encontrar segmentos congruentes pues como lo vimos la medida de los segmentos de los triángulos eran diferentes, esto lo podemos observar con la herramienta medida y longitud, pero al construir el triangulo OPQ, OXY y trazar el segmento OM vemos como la medida de los segmentos de estos dos triángulos, es decir de POM y QOM, los dos triángulos que se formaron al trazar el segmento OM, son congruentes siendo así que se forman también segmentos congruentes, entre los triángulos congruente podemos ver que son: POM, QOM, XOM y YOM, pues la medida de sus lados correspondientes es igual con la herramienta medida y longitud, de los ángulos congruentes puedo decir que están presentes en todos los triángulos que se inscribieron en la circunferencia, esto lo vemos con la herramienta marcación de ángulos y medición de ángulos, y por ultimo respecto a los triángulos semejantes puedo decir que son DAM y BCM, pues sus ángulos tienen la misma medida y los lados correspondientes no son congruentes, lo podemos evidenciar con la herramienta medida y longitud.
Karol Bogotá 11F Y Annge Bogotá 11H
Lo que podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM es que estos son triángulos semejantes pues dos triángulos son semejantes si existe una semejanza o similitud entre ellos, pueden cambiar el tamaño o medida de sus lados y su orientación, pero no su forma, lo que indica que deben tener la misma medida de sus ángulos interiores, esto lo podemos evidenciar en cabri utilizando la herramienta distancia y longitud y medir los lados de los triángulos, así nos podemos dar cuenta de que las medidas son diferentes, por lo que no son triángulos congruentes como lo a afirmado la mayoría, para comprobar si los triángulos son semejantes podemos utilizar la herramienta marcar un ángulo y luego si medición de ángulos, con esto vemos que los triángulos. interiores de los triángulos de DAM y BCM tienen la misma medida, por lo tanto son semejantes
Karol Bogotá 11F y Annge Bogotá 11H
Lo que puedo decir acerca de los triángulos DAM y BCM es que estos son triángulos semejantes pues dos triángulos son semejantes si existe una semejanza o similitud entre ellos, pueden cambiar el tamaño o medida de sus lados y su orientación, pero no su forma, lo que indica que deben tener la misma medida de sus ángulos interiores, esto lo podemos evidenciar en cabri utilizando la herramienta distancia y longitud y medir los lados de los triángulos, así nos podemos dar cuenta de que las medidas son diferentes, por lo que no son triángulos congruentes como lo a afirmado la mayoría, para comprobar si los triángulos son semejantes podemos utilizar la herramienta marcar un ángulo y luego si medición de ángulos, con esto vemos que los triángulos. interiores de los triángulos de DAM y BCM tienen la misma medida, por lo tanto son semejantes
Karol Bogotá 11F y Annge Bogotá 11H
En primer lugar la relacion que sostienen los triangulos DAM y BCM es que son semejantes debido a que los dos tienen la medida de sus angulos iguales pero de sus lados es didstinta, sin embargo al calcular la razon de sus lados en los tres casos se presenta una igualda, pero es importante aclarar porque estos dos triangulos tienen los mismos angulos, esto se debe a que el segmento AB y CD se cortan entre si y forman angulos opuestos por el vertice,esto causa que el angulo AMD sea igual al opuesto CMB y el AMC igual a su opuesto BMD, de esto podemos inferir que los triangulos AMC y BMD son semejantes.
sergio martinez 11 H
Me gustaria completar mi comentario anterior, otra razon por la cual los triangulos que se encuentran en el teorema de la mariposa son semenjantes, es que estos se encuentran inscritos en una circunferencia por lo que los segmentos son limitados por esta condicion: entonces las condiciones para que en una circunferencia se presenten triangulos semejantes es que en primer lugar las cuerdas presentes en esta cumplan la condicion de formar angulos opuestos por el vertice y que los puntos de las cuerdas sobre la circunferencia se unan para formar el tercer lado del trinagulo por lo que se forman estos triangulos.
sergio martinez 11H
Una forma de justificar que M sea el punto medio del segmento XY es trazar los triangulos OPQ y OXY y el segmento OM, teniendo esta construccion podemos observar que el triangulo OMQ es congruente con el OMP y el triangulo OXM es congruente con OMY de esta manera son una reflexion con respecto al segmento OM que es uno de los catetos de los cuatro triangulos nombrados anteriormente, al tener los mismos angulos los triangulos OMY y OMX y compartir un lado esto causa que los dos tengan la misma medida de resto de sus lados, es donde incluimos los segmentos MY y MX que son iguales y unidos corresponden a la hipotenusa del triangulo OXY, que es el segmento XY, al tener esta informacion podemos concluir que el punto M es el punto medio de XY debido a que X es la reflexion de Y formada por los triangulos formados porlos puntos M, Y y O Y los puntos O, M y X, generando la misma distancia de un punto al centro.
sergio martinez 11 H
Primero que todo voy a explicar la congruencia de triangulos ya que en esto se basa el teorema. La congruencia de triangulos estudia los casos en que dos o mas triangulos presentan ánguloscongruentes o de igul medida, asi como tambie lados iguales aunque no necesariamente en la misma posicion. Las condiciones para que unos triangulos sean congruentes es que deben tener lados y angulos iguales y partes homologas o correspondientes.
En el teorema de la mariposa los lados y angulos que se forman son iguales, por ende se cumple la regla de congruencia de triangulos.
Por lo tanto el triangulo CMA es semejante al triangulo BMD y por ende CA/CM=BD/BM.
Si trazamos una línea perpendicular a CA y otra a BD que se corten en O, nos podemos dar cuenta que estas perpendiculares cortan a CA y BD justo en el centro, es decir: OH es perpendicular a AC y OJ es perpendiculr BD, por lo tanto,
CA=2CH y BD=2BJ.
Ahora observando los triangulos formados por CMH y BMJ nos damos cuenta que se vuelve a cumplir la regla de la congruencia, entonces:
CH/CM=BJ/BM donde el angulo alfa=alfa', por lo tanto el triangulo CMH es semejante al triangulo BMJ.
Así mismo en los triangulos anteriores se forma un nuevo angulo beta y beta' los cuales tienen el mismo valor, or lo tanto beta=beta', lo cual nos demuestra una vez más la regla de la congruencia
Ahora observamos los trapecios formados por OMHX y OMYJ sumando los angulos HyM y JyM nos dan como resultado angulos de 180º asi que:
aungulo H + angulo M= 180º.
En conclusión puedo decir que la regla de la congruencia se cumple si la incliacion de AB y CD son iguales al momento de cortar al segmento PQ en un punto medio M.
NATALIA CHICANGANA RAMIREZ
11ºF
Se puede decir que los triángulos DAM y BCM son iguales o congruentes por que si trasamos una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento pq se puede ver que los dos triangulos son una reflexión del otro.
tambien podemos decir que en este teorema no hay triangulos semejantes por que debe tener igual forma pero diferente tamaño y en el de la mariposa no se encuentra esto
jairo alejandro velasquez 10 g
Haci como los puntos P y Q se encunetrsn a la misma distancia de M por ser este el punto medio de la cuerda PQ, se puede afirmar que los nuevos puntos que trasamos sobre la cuerda los cuales llamammos X y Y tambien se encuentran a la misma distacia del punto M, pues la longitud de estos puntos esta determinada por las dos nuevas cuerdas que pasan por M ,ya que la union de sus extremos esta determinada y son tan dependientes una de la otra por lo tanto, en el teorema de la mariposa solo podemos afirmar en cuanto a 4 triangulos que se forman poseen la generalidad de una longitud congruente entre todos y estos triangulos seran congruentes respectivamente a su refelxion, si y solo si M tambien sea el centro del circulo.
Jorge Leonardo Gomez Mora 10 G
los triangulos que se forman al unir las puntas de las cuererdas que pasadn por M, son semejantes ya que sus angulos son congruentes aunque, se encuentren en orden ditinto, tambien se puede afirmar que los triangulos son cogruentes respentivamente con sus triagulos opuestos en la figura solo si M se encuntra en el centro de la circunferencia
los triangulos que se forman al unir las puntas de las cuerdas que pasan por M , son semejantes pues sus angulos son cogruentes aunque, se encunetren en posicion u orden distinto al otro triangulo, tambien se puede afirmar que los triangulos son congruentes respectivamente con sus triangulos opuestos en la figura solo si M se encuntra en el centro de la circunferencia.
Jeison 10 G
1.los triangulos DAM y BCM son semejantes debemos recordar que la semejanza de triangulos consiste en que los angulos de los triangulos a comparar son iguales mas no sus lados pero debemos entender que esto no implica que estos lados no tengan cierta relacion por que realmente si la tienen algunas de estas relaciones pueden ser:
AD/MD=MC/BM
si realisamos dicha operacion podemos darnos cuenta que si hay una relacion y por lo tanto son semejantes
2.si nos damos cuenta el segmento PQ divide a la circunferencia en distintas proporciones estas proporciones determinan tamaño, semejanza o congruencia si observamos bien el unico punto donde el segmento PQ divide a la circunferencia en proporciones iguales es cuando dicho segmento es igual al diametro de la circunferencia si hallamos las medidas por medio de las herramientas de cabri nos damos cuenta que son exactamente iguales por lo tanto son congruentes:
triangulos DAM= triangulos BCM
en cualquier otra posicion del segmento PQ los triangulos son solomanete semejantes debido a sus lados
al igual que los angulos son iguales en cualquier posicion del segmento PQ
ocurre lo mismo con los triangulos que se forman con los segmentos que pasan por los puntos XY
ademas si nos damos cuenta de los triangulos que se forman y quedan inscritos sobre la circunferencia estos son congruentes por que al hablar las medidas de sus lados y angulos son iguales ademas se dice que cuando los segmentos de dos triangulos forman y estan en un mismo arco los triangulos formados son iguales o congruentes.
3.ademas si nos damos cuenta se forman cuadrados y rectangulos inscritos dentro de la circunferencia que en ciertas formas muestra distintas figuras geometricas que en cierto modo de distintas perspectivas y el punto M vendria siendo el punto central de dicho cuadrado o rectangulo dependiendo de donde se ubique PQ
POR: CARLOS CEPEDA
SERGIO LADINO
CURSO: 11-H
estoy de acuerdo con la intervencion que hace brayan umbarila del curso 11f puesto que tenienendo en cuenta la definicionn de figuras congruentes,la cual dice que las figuras semejantes tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño y coinciden exactamente cuando se sobreponen, se puede afirmar que estos triangulos presentan semejanza pues tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, mas no presentan congruencia, al no tener sus lados iguales.
carlos leonardo bautista pimiento
10Gº
COmo primera medida al analizar los triangulos C-B-M y A-D-M, pudimos establecer diferentes calculos en los cuales pudimos establecer relaciones de semejansa
de triangulos y preporcionalidad en sus lados.
semejansa:
seg A-D= 11.41 cm
seg A-M= 4.79 cm
Seg B-C= 9.91 cm
Seg C-M= 4.16 cm
estableciendo la razon entre los lados se presenta que:
B-C/A-D= C-M/A-M
B-C/A-D= 0.87 cm
C-M/A-M= 0.87 cm
Esto nos comprueba que estos triangulos son semejantes, pues al ralizar el movimiento del segmento P-Q, el resultado de la razon entre B-C/A-D y C-M/A-M siempre sera igual.
Proporcionalidad:
Al dividir los dos segmentos de los angulos entre si se puede establecer si los lados son proporcionales a los del otro triangulo es decir:
B-C/C-M= A-M/A-D
9.91 cm/ 4.16 cm = 11.41 cm/4.79 cm
2.38 cm= 2.38 cm
Esto nos confirma que los segmentos (A-M,C-M) y (A-D, C-B) son proporcionales
2- Los angulos B y D siempre son congruentes en este caso se ve que tienen un valor de 24.1 grados, y los angulos C y A también lo son en este caso 52.3 grados, los dos triangulos nunca podran ser congruentes al desplazar PQ
3- al ser los triangulos semejantes los, lados (cm-am)y (cb-ad), tambien lo son entonces al trazar los lados cb y ad se obliga a que tengan una distancia proporcional que al cortar a p,q, tendrain una medida igual con respecto al inicio del trazo de los segmentos es decir a m.
nosotras podemos concluir que aunque pareciera que los triangulos DAM y BCM fueran conruentes no lo son ya que sus lados no son iguales, pero sus angulos internos si son iguales y por esta razon se puede afirmar que los triangulos DAM y BCM son semejantes y esto se podria comprobar con la herramienta para medir los segmentos para poder comprobar que la razon del lado AB fuera la la division entre estois dos segmentos.
Segun el teorema de la mariposa en estos triangulos no se encuentran segmentos congruentes ya que ninguno de estos tienen la misma medida.
1. De los triángulos DAM Y BCM podemos observar características de estos que tienen en común, por ejemplo si tomamos la cuerda PQ, la cuerda AB o la cuerda CD nos vamos a dar cuenta que la medida de sus lados cambia a medida que corramos las cuerdas a diferentes lados de la circunferencia, pero la medida de su ángulos son similares .por lo tanto podemos decir que los triángulos son semejantes porque tiene la misma forma. Ya sabiendo que son triángulos semejantes podemos identificar algunas de las características que los identifican y se ven reflejadas en este teorema : Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos y Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son iguales, donde podemos indetificar que al mover las cuerdas PQ, AB y CD la leyes de los triángulos semejantes que se cumplen.
Teniendo claro que estos ángulos son iguales ¿Cómo identificarlos ? los podemos identificar viendo que los ángulos que son iguales son los ángulos opuestos al vértice dando como resultado los siguiente : el Angulo CMB es es igual a su opuesto AMD , el ángulo DAB es igual al ángulo DCM y el ángulo ADC es igual al ángulo ABC afirmando la argumentación dada . en el programa que estamos utilizando ( cabri ) lo podemos confirmar utilizando herramientas las cuales afirmen lo dicho en el caso de este teorema podemos utilizar la herramienta distancia o longitud para verificar la medida de los lados de los triángulos y la herramienta medida de Angulo , para la medida como lo anterior lo dice de los ángulos .
2. para identificar segmentos congruentes, triángulos congruentes y ángulos congurentes primero debemos referirnos a ¿Cuál es el significado de congruencia ?
Congruencia en segmentos es cuando estos solamente si tienen exactamente la misma longitud, triángulos congruentes triángulos presentan ángulos congruentes o de igual medida, así como también lados iguales aunque no necesariamente en la misma posición aplicando ciertas condiciones una ellas es que deben tener lados iguales se refiere a que absolutamente los 3 lados del triángulo sin excepción tengan exactamente la misma medida o valores expresados en números. Esta condición implica que los ángulos también son iguales dice que dos ángulos son congruentes cuando ambos ángulos tienen la misma medida. Teniendo claro esto podemos decir que primero que todo debemos tener en cuenta que todo esta inscrito desde la circunferencia . ahora si teniendo encuentra todo lo anterior podemos decir que en segmentos congruentes tratándose de los lados DA y BC solo los podemos hallar cuando el segmento PQ pasa por el centro , pero si nos fijamos bien y vamos mucho mas allá del ejercicio podemos admirar que al ubicar en diferentes posiciones podemos el segmento PQ podemos hallar una congruencia en los triángulos que se forman si fuesen AXM y BDM pero para comprobar esto deberíamos ir mucho mas allá centrándonos en PQ como referencia , siguiendo con lo anterior siempre que el segmento PQ se encuentre en la mitad los triángulos que se forman ya sea CAM O BCY , CXM Y BYM o AXM o MYD son congruentes , si movemos PQ a otro lado de la circunferencia que no sea el centro no lo serna estos triángulos congruentes.
Ángulos congruentes son los ángulos que se forman en los triángulos anteriores y también es lo triángulos semejantes que se forman lo cual cambia al hablar de segmentos congruentes pues que estos solo se forman en los triángulos congruentes. Ya por ultimo podríamos seguir haciendo muchas construcciones pero básicamente tendremos que manejar herramientas de cabri como son las medidas de segmentos las medidas de ángulos para poder comprobar todo lo que estoy afirmando.con todo esto en un punto contrario al que dice Juan David galvis de decimo g QUE DICE
no hay por q los triángulos formados pr este teorema son congruentes por este motivo no es posible encontrar triángulos congruentes , puesto que creo que tiene un poco de confusión entre triángulos semejantes y triángulos congruentes , una respuesta a que esta en lo erróneo es si nos ponemos a ver el primer punto nos damos cuenta que triángulos semejantes son el triangulo DAM Y BCM por que no estoy de acuerdo con lo dicho por el en el foro .
3. el punto medio del segmento XY es M , porque la longitud M a X, es la misma longitud que hay de M a Y . al construir el triangulo OPQ y el triangulo OPQ todos los lados son semejantes y los triángulos tiene la misma forma , los angulos tambien son congrutenes y M quedaria siendo el punto medio en ambos casos
1. Que podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?
Acerca de estos triángulos puedo afirmar que son Triángulos Semejantes ya que en estos pueden cambiar el tamaño y la orientación sin alterar su forma, el cambio de forma solo depende de sus ángulos, y con la herramienta de longitud es notable que la medida de los lados de los triángulos DAM y BCM no es la misma y esta en constante variación dependiendo el movimiento de las figuras, en cambio al utilizar la herramienta medida de ángulos, podemos notar que sus ángulos si son iguales lo cual indica que si hay semejanza en los triángulos.
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Para encontrar segmentos congruentes y triángulos congruentes, tomaríamos a M como punto central de la circunferencia, por lo tanto el segmento PQ será el diámetro de esta, y de esta forma, al utilizar las herramientas de medida de ángulos y de longitud, comprobaremos que; AD=BC; AM=BM=DM=CM.
Ahora para encontrar ángulos congruentes, pues nos damos cuenta que con el teorema de la mariposa siempre obtenemos triángulos semejantes, lo que indica que sus ángulos son congruentes.
3. Explica por qué M es punto medio del segmento XY.
El teorema dice: Dada una cuerda PQ de una circunferencia, sea M el punto medio de PQ. Sean AB y CD otras dos cuerdas que pasan las dos por M. Trazamos ahora las cuerdas AD Y BC que cortan en los puntos X y Y respectivamente a la cuerda PQ.
Entonces si trazamos las cuerdas AC y BD, éstas cortan en sendos puntos X y Y a la cuerda inicial PQ. Por eso concluimos que M también es el punto medio del segmento XY.
1. los triángulos DAM y BCM son semejantes debido a que la medida de sus ángulos internos son las mismas o congruentes, además de que los ángulos BMC y DMA de estos triángulos son opuestos por el vértice; y la proporción de sus lados se mantiene, siendo que se tomen los segmentos en semejanza, es decir: AD / CB = DM / BM = AM / CM
2. - Los únicos segmentos congruentes que se encuentran en la gráfica original son los que se toman a dentro del segmento PQ, es decir los segmentos PM y QM, XM y YM, QX y PY, etc. porque son estos los únicos que se mantienen al mover la gráfica. No obstante al trazar los segmentos OP y OQ nos damos cuenta que tienen la misma medida, al igual que los segmentos OY y OX.
- En cuanto a triángulos congruentes encontramos que la medida de los lados y los ángulos de los siguientes triángulos es la misma:
* OQM y OPM.
* OXM y OYM.
* OXP y OYQ.
- Para que dos triángulos sean semejantes es necesario que la medida de sus ángulos internos sea la misma, y sus lados mantengan una relación constante aunque tengan diferente medida, a partir de esto podemos decir que triángulos semejantes son:
*AMD y CBM.
*AXM y MBY.
*DXM y MCY.
*MPA y MBQ.
*MCQ y MPD.
*MCA y MDB.
*MXD y AXP.
*AMX y XPD.
*CMY y YQB.
*MYB y YCQ.
- Para que dos ángulos posean la misma medida, es decir que sean congruentes es necesario que estén inscritos en un mismo arco o sean opuestos por el vértice. Entre estos encontramos:
*AMP y QMB
*PMD y QMC
*AXP y MXD
*CDA y CBA
*BAD y DCB
*ACD y ABD
*CAD y ADB
*CYM y QYB
*MYB y CYQ
*CMA y BMD
DANIEL CASTRO 11°H
. Que podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?
Los triángulos DAM y BCM son semejantes solamente si el punto m coincide con el punto o, que es el centro de la circunferencia; ya que si no, todos sus ángulos serán siempre iguales (todos los ángulos inscritos en una circunferencia son congruentes) pero sus lados serán diferentes, pues como pudimos ver en el grafico, al desplazar el punto m dentro de la circunferencia, con las herramientas de medición, pudimos observar claramente que solo varía la longitud de los lados, mas no la medida de sus ángulos.
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Como vimos en el punto anterior los ángulos de los triángulos siempre serán congruentes ya que están inscritos en una misma circunferencia. También pudimos ver que los segmentos de la circunferencia sólo serán iguales si el punto M se sitúa en el punto O (centro de la circunferencia), ya que los segmentos AM CM BM y DM equivaldrían al radio de la circunferencia y adicionándole que todos sus ángulos son congruentes podríamos deducir que los segmentos AD y CB son equivalentes también y por tanto los triángulos serían semejantes.
3. Explica por qué M es punto medio del segmento XY.
M es punto medio del segmento xy, ya que los segmentos AB y CD intersectan en el punto m, y con un mismo ángulo se refleja sobre la circunferencia pasando por los puntos xy..
CRISTIAN MORA, JUAN ALEJANDRO CADENA 11H
A partir de los triángulos formados, observamos que estos son semejantes es decir: el triangulo DAM es semejante al triangulo BCM, lo anterior debido a que los ángulos que están dados por los vértices A y C son congruentes, igualmente ocurre con los ángulos de los vértices B y D ya que sus lados correspondientes intersectan un punto en común el cual es el punto medio del segmento PQ, y además son ángulos cuyos lados son segmentos que van desde el vértice del ángulo hasta el vértice opuesto del otro triangulo y el otro segmento del ángulo esta desde ese vértice hasta el otro lado del triangulo, es decir: el Angulo A tiene de lados a los segmentos AB y AD, donde B es un vértice del triangulo CBM y D un vértice del triangulo DAM, ahora, contrastando con el Angulo C, este está dado por los segmentos CD y CB, como podemos ver, los ángulos semejantes, A y C en este caso, tienen como lados segmentos que van hasta dos puntos en común.
La semejanza de triángulos también la podemos argumentar a partir de la proporción que se cumple entre la medida de los lados de los triángulos, de esta manera, la razón entre la medida de los segmentos AD y CB (AD/CB) es igual a la razón entre la medida de los segmentos MD y MB (MD/MB), entonces ADxMB = CBxMD.
Existe un momento en el que los triángulos formados en la circunferencia a partir del segmento PQ son congruentes y es cuando el segmento PQ atraviesa la circunferencia justo por la mitad, es decir, cuando el segmento PQ marca el diámetro (horizontalemente) de la circunferencia. Lo anterior debido a que M pasaría a ser el centro de la circunferencia, por ser el punto medio del segmento PQ, y de esta manera los segmentos tendrán una proporción a razón 1:1.
POR: ANDREA BIBIANA GALEANO. CURSO :11ºH
1. Que podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?
se puede decir que son semejantes y que si el punto m concuerda con el punto o son congruentes en cuanto a sus angulos.
DAM y BCM son semejantes puesto a ke los angulos internos son iguales. todo esto se puede hallar con las Herramientas de medicion de angulos y de lados.
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
en esto encontre que los angulos muchas veces si son congruentes ejemplo en el triangulo BCM con el tienagulo DAM los angulos internos son iguales y esto asu vez hace que algunos de sus lados sean semjantes.
en cuanto a los segmento congruentes encuentro que si se posicionan de determinada manera las rectas AB y CD en algunas partes los segmentos pueden ser congruentes puesto que su tamaño sera el mismo, y al volverlos a posicionar en otros lugares los lados de los triangulos son equivalentes aunque no todos a la vez. y si el punto m se posiciona en el mismo lugar de o, los triangulos van a ser congruentes puesto que sus lados y sus angulos seran iguales.
3. Explica por qué M es punto medio del segmento XY
m es el punto medio entre XY porque al ser AB y CD intersecciones de m, y las rectas AC y DB sean construcciones a partir de ella, garan que X y Y sean equidistantes con relacion a M
LA OPINION D BRYAN UMBARILLA ME PARECE CORRECTA, AUNQUE COMO YA DIJE EN MI COMENTARIO, SI HAY MAS POSIBILIDADES DE ENCONTRAR SEGMENTOS CONGRUENTES.
TAMBIEN CREO QUE BRYAN (AUNQUE CON UNA MUY BUENA EXPLICACIÓN), SE COMPLIOCA MUCHO LA VIDA.
CREO QUE NO HAY NECESIDAD DE CREAR MAS SEGMENTOS PARA TRATAR DE DEMOSTRAR EL TEOREMA, YA CONO LO QUE NOS DAN ES SUFICIENTE.
ATT
ANDRÉS URREGO NIETO
10G
Respecto de los triángulos DAM y BCM se puede señalar que son semejantes ya que al descomponer cada una de sus partes, la longitud de los segmentos de los triángulos nunca van a ser congruentes aunque sus ángulos que en algún caso que se pueda presentar una modificación que podría ser : traslación de sus vértices o ángulos, contracción o dilatación del radio de la circunferencia, etc.
¿Cuál es la razón por la que los ángulos de los dos triángulos principales tienen congruencia? Es muy sencillo, estos mencionados comparten un punto llamado vértice en este caso definido como M. Los angulos que son congruentes por sus medidas: angulo D y B, A y C.
Siendo M el punto medio del segmento XY y del segmento PQ, se puede decir que de la misma forma que el segmento XM es directamente proporcional al segmento MY, también lo son el segmento XP al segmento YQ; es decir:
XM YM
------ = ------
PM QM
NUBIA YAMILE CÁCERES AROCA 11 H
1. ¿Qué podemos decir de los triángulos DAM y BCM?
Podemos observar que todos los lados de cada triangulo poseen diferentes medidas, lo cual es una razón para argumentar que los triángulos no son congruentes. Sin embargo, es correcto decir que estos triángulos son semejantes porque las medidas de sus ángulos internos son iguales y se mantienen a pesar que el segmento PQ se desplace. Esto ocurre debido a que los ángulos DMA y BMC son opuestos por el vértice. Esto también nos permite observar que tanto los ángulos DMB y AMC son suplementarios con el ángulo DMA o BMC (La suma de los ángulos da como resultado 180º).
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes y triángulos semejantes.
• No se encuentran segmentos congruentes a menos que el segmento PQ pase por el centro de la circunferencia, en este caso son congruentes los segmentos AM y CM, al igual que DM y BM.
• No se presentan triángulos congruentes porque las medidas de sus lados no son iguales.
• Los ángulos congruentes que se presentan en los triángulos son BMC y DMA, ADM (ó ADC) y CBM (ó CBA), BCM (ó BCD) y DAM (ó DAB). En la parte exterior de los triángulos, los ángulos DMB y AMC también son congruentes.
• Los triángulos semejantes que se presentan son el triángulo DAM con el triángulo BCM debido a que comparten el vértice formado por M. Los triángulos AXM y BMY junto con CMY y DMX no son congruentes, pues tanto sus lados como sus ángulos tienen diferentes medidas.
3. Explica por qué M es punto medio del segmento XY.
Al trazar los triángulos OPQ y OXY se observa que son triángulos isósceles, y q la altura de ambos triángulos es la misma. En estos triángulos la altura corta a la base del triangulo en la mitad( correspondiente al punto M), por lo que en la base quedan dos segmentos totalmente iguales correspondientes a los segmentos XM y YM.
John Felipe Alba Garay 11-H
1. Teniendo en cuenta que un triangulo congruente es aquel que posee sus ángulos y un lado iguales a los del otro triangulo, y que los triángulos semejantes son los que poseen la misma forma básica pero su tamaño es diferente, cuando hablamos de la misma forma nos referimos a que los ángulos sean iguales pero sus lados tienen longitud diferente. Según esto concluimos que los triángulos DAM y BCM, son semejantes pues sus ángulos son iguales, además al mover el punto C los triángulos pasan de un lado a otro por la cuerda AB ( la cual contiene al punto medio M ) esto como si fuera un espejo el cual refleja su imagen e un lado a otro.
2. En el teorema de la mariposa podemos notasr que existe un obvio segmento congruente el cual es AD-CB, lo notamos en el momento en que movemos cualquiera de los puntos ubicados dentro de la circunferencia(A,B,C,D) al moverlos en sentido de las manillas del reloj o al contrario los dos segmentos(AD-CB) toman la misma medida de longitud, si uno se agranda el otro también, si uno se encoje el otro también, ahora fijémonos en los puntos X-Y a medida que los segmentos AD y CB giran, los puntos se expanden tocando P y Q y se contraen pasando por el punto medio M
3. M es el punto medio de XY por que al girar los correspondientes segmentos que involucran a X y Y (AB) estos comienzan a girar y los puntos X y Y pasan por el punto medio se cruzan y se demuestra que cuando AB quedan sobre la cuerda PQ, XY se quedan sobre este eje volviéndose un segmento, de hay se nota claramente que M es el punto medio de XY.
VANESSA ESTEBAN 11H
psdt:LAU FEA IOP GENIAL(nada q ver con el tema)
DANIEL ROCHA DURAN.
11 H
Dos figuras son congruentes si coinciden cuando colocamos una sobre otra. Por ejemplo, dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud, dos circunferencias son congruentes si tienen el mismo radio, dos cuadrados son congruentes si tienen el mismo lado.
Y ..........
Dos triángulos son congruentes en cualquiera de los siguientes casos:
1. Caso LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes.
2. Caso LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triangulos son congruentes.
3. Caso ALA: Si dos angulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos angulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Dos triangulos son semejantes cuando:
Tienen dos ángulos iguales
Tienen sus tres lados proporcionales
Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
partiendo del hecho que los triangulos AMD y CMB son semejantes ya q cuando la cuerda PQ se mueve por algunos de los puntos de la circunferencia los triangulos van a cambiar de tamaño y van a ser diferente tanto en sus angulos, medidas longitudinales etc.
mientras que podemos encontrar los dos triangulos congruentes cuando el punto medio de PQ o sea M pasa por toda la mitad de la circunferencia la medida de los dos triangulos AMD y BMC van a ser iguales.
Diego Medina 11-H
de acuerdo con el comentario de brayan umbarella me parecio muy bueno que hayan personas como el que no se quedan con esa duda y tratan de investigar.
de acuedo con los triangulos puedo decir que los triangulos DAMy BCM
son semejantesados son proporcionales y sus lados son iguales son semejantes si tiene un angulo igual y sus lados cotinuos proporcionales con estos criterios podemos asegurar de que si lo son .
tambien puedo decir que son congruentes pues cuando se dice que dos angulos estan inscritos en este caso MB SOBRE MD igual a AD SOBRE CB SOBRE UN ARCO SON CONGRUENTES
ATT LAURA STEFANIA LOPEZ CURSO 10G
La afirmación de los triángulos congruentes se da con la razón de que solo se toma en cuenta su posición inicial:la posición que esta adopte en el momento en el que se realiza la construcción , y si se tiene en cuenta que un Ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados cortan esta, afirmarmo que realmente los triángulos nombrados y sus respectivos angulos son validos, pero al tener en cuenta que si afirmo que son congruentes unos con otros (respectivamente), se declara que son exactamente iguales sin importar su posición, cuestión que al mirar y comparar con los ángulos mencionados no son realmente congruentes, siempre y cuando se muevan los segmentos que en estos interfieren.
Daniel Felipe Sarmiento C 10g
César Julián Camacho 10ºg
Hay Varios Triángulos Semejantes En Esta Demostración Del Teorema De La Mariposa Como Bcm Y Dam En Ese Caso Los Triángulos No Variaran Su Proporción Entre Ellos Por Mas Que La Circunferencia Cambie De Radio O Que Las Cuerdas Cambien De Lugar Siempre Y Cuando Todos Los Segmentos Mantengan La Forma De La Demostración Inicial (Estos Dos Triángulos No Tienen Ninguna Congruencia).
Los Segmentos Mx Y My Son Equidistantes Mientras Los Puntos P Y Q Se Muevan Sobre La circunferencia La Forma De Que Esto Sea Comprobado Es Usando La Herramienta De Medida Dentro Del Software Gabri Geometre De Esta Gorma Podemos Hacer Girar Los Puntos Y Comprobar Que En Realidad La Distancia Entre Ellos Va A Ser El Doble De La Distancia Desde Uno De Los Puntos Hasta M Que Es El Punto De Intersección Entre Las Cuerdas Que Se Forman, Además Los Puntos Diferentes A P Y Q Que Están Sobre La Circunferencia También Giran De Tal Forma Que El Teorema No Se Altere .
Si M Es El Punto Medio De La Cuerda Pq También Debe Serlo De Los Puntos X Y Y Sacados De La Intersección De La Cuerda Pq Con Otras Cuerdas.
A Medida Que Los puntos P Y Q Se Mueven Sobre La Circunferencia El Punto M Se Mueve De Arriba Abajo Pasando Por El Centro Del Circulo (O).
Para Q Estas Afirmaciones Se Cumplan Los Puntos P Y Q Deben Moverse Sobre La Circunferencia
Al realizar la construcción de los triángulos DAM y BCM se da la impresión de que son congruentes, pero al analizar la construcción con las herramientas podemos ver que no lo son, porque sus lados no son iguales, por lo tanto medimos sus ángulos y podemos ver que si son iguales y llegamos a la conclusión de que los triángulos son semejantes, porque uno es un poco más grande que el otro asi que los triangulos DAM y BCM son semejantes.
ATT: Camilo Andrés Marín Carmona
Curso: 11ºf
Al realizar la construcción de los triángulos DAM y BCM se da la impresión de que son congruentes, pero al analizar la construcción con las herramientas podemos ver que no lo son, porque sus lados no son iguales, por lo tanto medimos sus ángulos y podemos ver que si son iguales y llegamos a la conclusión de que los triángulos son semejantes, porque uno es un poco más grande que el otro asi que los triangulos DAM y BCM son semejantes.
ATT: Camilo Andrés Marín Carmona
Curso: 11ºf
1. Los triangulos son semejantes ya que los angulos son iguales y sus lados son similares
2. Solo hay angulos congruentes y triangulos semejantes:
.Angulos:
AMD congruente con CMB
MDA congruente con MBC
DAM congruente con BCM
.Lados:
AD similar con CB
DM similar con BM
MA similar con MC
3. M es el punto medio de XY porque la distancia que hay entre X y M es igual a la distancia que hay entre M y Y
Pablo Moreno 11ªF
Camilo Osuna 11ªF
1.en el teorema podemos observar que los triangulos DAM y BCM son semejantes puesto que al momento de medirlos ambos tienen la misma medida..en el punto M se puede decir es fuente de los vertices que tiene cada triangulo los cuales se proyectan como si fuera un espejo..estos angulos miden lo mismo,Estas medidas las logramos sacar con la herramienta distancia y longitud..ambos triangulos cumplen con la idea de que los angulos de los triangulos semejantes deben tener la misma medida. Mariana C Quintin 11 F
Me parece que el comentario de bryan umbarila es muy bueno y es correcta ya que es de las personas que les gusta aprender e investiga y soluciona una duda cuando se le presenta y además con una buena argumentación.
Según los triángulos, son semejantes DAM y BCM y proporcionales, las figuras semejantes tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño, estos triángulos presentan semejanza puesto que tienen la misma forma pero no el mismo tamaño pero como no tienen sus lados iguales no son congruentes ya que no presentan ángulos congruentes o de igual medida, así como también lados iguales aunque no en la misma posición.
att: manuel humberto gomez ruiz 10G
Aprendizaje individual-taller5
1. Se puede decir de los triángulos DAM y BCM que son rectángulos e iguales y congruentes ya que al superponer uno sobre otro son idénticos además al trazar una recta que pase por M y sea perpendicular al segmento PQ se puede ver que ambos triángulos son una reflexión del otro.
2. • Segmentos congruentes: DA y BC, DC y BA, MD y MB, AM y CM, DX y BY, XA y YC, MQ y MP, XM y YM, PX y QY y por ultimo PY y QX.
• Triángulos congruentes: DAM y BCM, DXM y BCM y por ultimo MXA y MYC.
• Ángulos congruentes: XDM y YBM, ADC y CBA, AXM y MYC, DMA y BMC, DXM y BYM, BYQ y DXP y por ultimo DMB y AMC
No hay triángulos semejantes en la construcción del teorema de la mariposa, ya que si un objeto es semejante a otro tiene la misma forma pero un tamaño diferente, y en la construcción no se encuentran triángulos con la misma forma ya que los ángulos de uno son mas grandes o mas pequeños que en los otros triángulos
3. El punto medio del segmento XY es M puesto que si nos damos cuenta el segmento OM es perpendicular a el segmento XY, y el segmento PQ tiene una intersección en esta, de esta manera todo se da partiendo de que el punto M es el centro.
att: manuel humberto gomez ruiz "2
profe nidia:
que pena por haber hecho el comentario tan tarde.
gracias
att: manuel gomez
. Se afirmaria que los triángulos DAM y BCM son congruentes, semejantes ya que sus ángulos y lados miden lo mismo.
2. Segmentos congruentes:
DA-BC, DC-BA, PM-QM,
PX-QY, XM-YM, DM-BM, DX-BY, CM-AM, XA-YC, PY-QX,
Triángulos congruentes:
AXM-CYM, DMX-BMY, DMA.BCM.
Ángulos congruentes:
XAM-YCM, XDM-YBM-ADM-CB MDMA-BMC, BYM-DXM, MYC-MXA, BYQ-BXP, CYQ-AXP.
Triángulos semejantes: no se encontraron en la figura.
3. Ya que el segmento OM es perpendicular a XY, y a la vez el segmento PQ pasa por ella, siendo su mediatriz, por ello es el punto medio del segmento XY.
con respecto al comentario de bryan umbarille si es bueno tiene bases esta bn argumentado.
ahora lo k yo puedo decir es:
Se puede observar que los triángulos DAM y BCM son semejantes por que sus dimensiones son proporcionales y sus ángulos tienen la misma medida(AM-MC; DM-BM;AD-BC)
Explorando el teorema podemos decir que no se encuentran segmentos congruentes, porque lo afirmo, pues como saben estos segmentos son aquellos que tiene la misma medida y en el teorema no encontramos segmentos con esta característica
y no puedo decir nada mas
porque too esta argumentado por bryan umbarille
att: LORENA VILLALBA 10G
hola profe:
es que estoy esperando tu opinion y correción acerca de mi comentario sobre lo que opino bryan umbarilla.
gracias
Se puede afirmar que los triangulos son congruentes debido a que tienen lados y angulos con las mismas medidas, esto tambien se puede comprovar por medio de superponer un triangulo sobre el otro.
2.Segmentos congruentes(solo si tienen la misma longitud): DA y BC, DC y BA, MD y MB, AM y CM, DX y BY, XA y YC, MQ y MP, XM y YM, PX y QY y PY y QX.
• Triángulos congruentes(lados y angulos iguales): DAM y BCM, DXM y BCM y MXA y MYC.
• Ángulos congruentes(si tienen la misma medida): XDM y YBM, ADC y CBA, AXM y MYC, DMA y BMC, DXM y BYM, BYQ y DXP y DMB y AMC.
3.podemos concluir que el punto medio es M porque los segmentos cm-am y cb-ad son congruentes tienen que tener la misma distancia al trazar pq y tendrian una misma medida con respecto a M.
Jesus Leonardo Rueda 11f
respento al comenterio de cristian umbarilla me parece q sa basa en muy buenos argumentos para comprobar sus hipotesis
pero me parece q se complica mucho demostrando la cantidad de segmentos congruentes y semejantes q c encuentran de igual forma pueden haber muchas formas de encontrar segmentos congruntes
juan galvis
10g
Gracias al ejercicio realizado sobre el tema de la mariposa se puede concluir, que los triangulos DAM y BCM son semejantes, ya que al mirar los angulos internos de estos se ve que son iguales, pero la medida de sus lados no los son, por lo que no son dos triangulos congruentes.Tambien se puede deducir del ejercicio que los segmentos congruentes que podrian existir, son los siguientes: XA-YC, PY-QX, DA-BC, CM-Am, DC-BA, DX-BY, PM-QM, Px-QY- XM-YM y DM-BM y tambien que los triangulos congruentes podrian ser DAM-BCM, DMX-BMY y AXM-CYM.
Camilo Andres González 11-F
En lo que respecta al comentario de Brian Umbarila, me atrevo a aportar que este proceso que Brian realizo, se puede continuar x numero de veces, y siempre encontraremos razones como las que el nombro...
Asi que me parece algo "sobrante" o redundante este proceso.
Pero igual sigue siendo una observación muy concreta.
►►Teorema de la mariposa►►
En lo que analisamos de este teorema en clase (10g), encontramos que hay varios angulos Inscritos dentro de la circunferencia, algunos de ellos tiene la misma media.
Los angulos que estan comprendidos en el arco DB (Los angulos BAD y DCB) y en el arco AC (los angulos ABC y ADC), tienen la misma medida entre si.
Nombre: Daniela Solano Gómez 10g
los triangulos son congruentes por que sus angulos
son iguales por ejemplo
segmentos congruentes
AM y CM,DX y BY,XA y YC,MQ yMP,
XMy YM,DA y BC,DC y BA,MD y MB
PX y QY,PY y QX
triangulos semejantes son aquellos que son proporcionales entre si ejemplo
ACM Y BDM.
jorge luis soler
william david perez 10 g
PLAN SUPERACION
PROFUNDIZACION EN MATEMATICAS
PARTE V: TOMANDO POSICION ARGUMENTADA EN LA COMUNIDAD MATEMÁTICA
1. ¿Qué podemos decir acerca de los triángulos DAM y BCM?
Los triangulos DAM y BCM son semejantes en cualquier punto de la circunferencia pues las razones de sus lados son proporcionales, y tienen un angulo en comun, lo que quiere decir, que hay un angulo opuesto por el vértice, en estos 2 triangulos.
Si la cuerda que forma los triangulos pasara por el centro de la circunferencia, sería el único caso para que ambos triangulos fueran aparte de semejantes tambien congruentes. Con esto refuto lo que dice Maria Paula Cepeda, pues ella dice que son congruentes, lo cual seria cierto solo en el caso que mencione antes.
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos congruentes, triángulos congruentes, ángulos congruentes, triángulos semejantes.
Triangulos congruentes solo se podria si la cuerda fuera el centro de la circunferencia.
Como hay triangulos semejantes, esto quiere decir que todos los angulos que forman estos triangulos semejantes, son congruentes, pues para que exista la semejanza de triangulos es necesario que todos sus angulos sean iguales. Lo único que puede cambiar es la longitud de los lados y su posicion, pero nunca sus ángulos.
3. Explica por que M es punto medio del segmento XY.
El punto medio de un segmento es que el divide el segmento en 2 partes iguales. Por tanto para probar que M es el punto medio de XY, basta con calcular la distancia de X a M y M a Y. Estas distancias son iguales, por tanto comprobamos que M es el punto medio de XY
LAURA NIÑO
11ºF
Los triángulos DAM y BCM son semejantes ya que la medida de sus ángulos internos son las mismas o congruentes y sus lados proporcionales, además de que los ángulos BMC y DMA de estos triángulos son opuestos por el vértice.
Los únicos segmentos congruentes que se encuentran en la gráfica original son los que se toman a dentro del segmento PQ, es decir los segmentos PM y QM, XM y YM, QX y PY, etc. porque son estos los únicos que se mantienen al mover la gráfica. Pero al trazar los segmentos OP y OQ nos damos cuenta que tienen la misma medida, al igual que los segmentos OY y OX.
En cuanto a triángulos congruentes encontramos que la medida de los lados y los ángulos de los siguientes triángulos igual: OQM y OPM, OXM y OYM y OXP y OYQ.
Para que dos triángulos sean semejantes es necesario que la medida de sus ángulos internos sea la misma, y sus lados mantengan una relación constante y proporcional aunque tengan diferente medida, podemos decir que los triángulos semejantes son en el teorema: AMD y CBM, AXM y MBY, DXM y MCY, MPA y MBQ, MCQ y MPD, MCA y MDB, MXD y AXP, AMX y XPD, CMY y YQB y MYB y YCQ.
Para que dos ángulos posean la misma medida, es decir que sean congruentes es necesario que sean opuestos por el vértice (suplementarios), encontramos que en el teorema son congruentes: AMP y QMB, PMD y QMC, AXP y MXD, CDA y CBA, BAD y DCB, ACD y ABD, CAD y ADB, CYM y QYB, MYB y CYQ y CMA y BMD.
YO APOYO esta afirmación porque según el existen triángulos tanto semejantes (angulos iguales y lados proporcionales) como triángulos congruentes (ángulos y lados de igual medida) en el teorema porque en varias intervenciones planteaban que no había posibilidades de triángulos congruentes sin crear algún segmento, tomamos como referencia estos triángulos congruentes y encontramos que la medida de los lados y los ángulos de los siguientes triángulos es igual: OQM y OPM, OXM y OYM y OXP y OYQ. También hay triángulos semejantes que son en el teorema: AMD y CBM, AXM y MBY, DXM y MCY, MPA y MBQ, MCQ y MPD, MCA y MDB, MXD y AXP, AMX y XPD, CMY y YQB y MYB y YCQ.
MANUEL HUMBERTO GOMEZ RUIZ 10 G
lo que acabo de hacer es la parte de la superacion "TOMANDO POSICIÒN ARGUMENTADA EN LA COMUNIDAD MATEMÀTICA ESCOLAR" como parte de la superacion, de cualquier cosa porfa y mandarme correcciones.
manuel h gomez r 10 g
PLAN DE SUPERACION
COMENTARIO RESPECTO AL COMENTARIO DE JHON ALBA
1.los angulos DAM Y BCM si poseen diferentes medidad dependiendo de donde se encuentre el segmento QP y de esta forma se puede decir que los triangulos no son congruentes porque 2 triangulos congruentes deben tener la misma medida enlos lados respectivamente pero si podemos ver que tienen la misma forma y la medida de sus angulos internos respectivamente sin importar que se mueva el segmento PQ como lo indica john con esto podemos ver que los angulos AMD Y BMC son opuestos por el vertice y ambos triangulos son suplementarios es decir que la suma de sus angulos da como resultado 180º ademas se ve que la proporcion de sus lados se mantien, se ve que el segmento PQ divide alos triangulos formando en total 4 triangulos los cuales 2 son semejan tes y los otro 2 tambien, al mover el segmento PQ la proporcion de sus lados no se mantiene.
2. con respecto al comentario de jhon no estoy de acuerdo que no hayan segmentos proporcionales ya que al segmento XM es proporcional al segmento MP sin importa el desplazamiento, en cambio el segmento MA es congruente al segmento MC pero si importa el desplazamiento de el segmento PQ , lo mismo psa con el segmento MD y MB.
hay triangulos congruentes dependiendo de el desplazamiento de el segmento PQ cuando existen triangulos congruentes son
BCM Y AMD, MXC Y MBP,
con respecto a los angulos congruente ssi estoy de acuerdo con jhon ya que mira varias posibilidades.
Y no solo mira los angulos interno s de la figura sino tambien los externos.
Triangulos semejantes son: XDM y YBM, ADC y CBA, AXM y MYC, DMA y BMC, DXM y BYM, BYQ y DXP y DMB y AMC.
3.el punto medio del segmento XY es M , porque la longitud M a X, es la misma longitud que hay de M a Y . al construir el triangulo OPQ y el triangulo OPQ todos los lados son semejantes y los triángulos tiene la misma forma , los angulos tambien son congrutenes y M quedaria siendo el punto medio en ambos casos.
andrea florez 10G
SUPERACION 2do PERIODO
COMENTARIO JHON ALBA
Apoyo la conclusión que hace, al decir que los triángulos no son congruentes al poseer diferentes medidas, ya sea que se realice el en documento cabri o a lápiz y papel, siempre se obtendrá el mismo resultado al no obtener las mismas medidas.
La afirmación que hace con respecto a que los segmentos AM ,CM,DM y BM son congruentes, la apoyo al decir que ,cada uno de estos segmentos tienen un punto en común ya sea M, pero estos no son los únicos segmentos congruente que se pueden construir con respecto a estos puntos. Ya sea C y A puntos sobre la circunferencia y D y A respectivamente también se encuentran en la circunferencia, al trazar una cuerda del punto A al punto D, se crea una cuerda que se podría decir que es congruente a la cuerda que se traza del punto C al punto B. Esto lo puedo afirmar diciendo si los segmentos AM, CM, DM y BM tienen la misma medida del centro de la cuerda PQ, a los cuatro puntos de la circunferencia estas cuerdas tendrán las mismas características, tomando encuenta que las dos cuerdas creadas, tocan un punto sobre la cuerda PQ, y estas medidas son congruentes entre si ya que están subtendidas sobre una misma cuerda, y el punto M viene siendo su punto medio para que sea un segmento.
viviana gutierrez moreno 10G
RESPECTO AL COMENTARIO DE LESLY MERYED PINZON
estoy de acuerdo con lo que dice Lesly ya al analizarlo pude deducir lo siguiente
*primer punto los triángulos DAM y BCM son semejantes solamente si el punto m coincide con el punto o, que es el centro de la circunferencia; ya que si no, todos sus ángulos serán siempre iguales (todos los ángulos inscritos en una circunferencia son congruentes) pero sus lados serán diferentes, pues como pudimos ver en el grafico, al desplazar el punto m dentro de la circunferencia, con las herramientas de medición, pudimos observar claramente que solo varía la longitud de los lados, mas no la medida de sus ángulos, en el segundo punto, los ángulos de los triángulos siempre serán congruentes ya que dichos ángulos están inscritos en una misma circunferencia y en el tercero M es punto medio del segmento xy, ya que los segmentos AB y CD intersectan en el punto m, y con un mismo ángulo se refleja sobre la circunferencia pasando por los puntos
Anggie Ortega 11-H
muchos comentarios dicen que son congruentes, otros dicen que son semejantes, pero la razon la tienen los que dicen que los triangulos y segmentos presentes son semejantes ya que para decir si hay congruencia estos deberian tener todas las medidas iguales, tanto los angulos como los lados y las razones, en cambio para decir que hay semejanza los lados pueden que sean proporcionales pero nunca del mismo tamanio, para que haya semejanza, deben de tener almenos 2 angulos o almenos la razon entre sus lados debe de ser igual, ademas si movemos la cuerda PQ, o el punto P, o el punto Q, ya el tamanio de sus lados cambia y por lo tanto no se presenta congruencia, otro aspecto importante es que podemos decir q M es el punto medio del segmento o la cuerda PQ, ya q no importa cuanto movamos la cuerda, la distancia entre un extremo u otro y M siempre va a ser la misma, osea de P a M siempre va a ser la misma distancia de Q a M, por mucho este seria el unico caso enque habrian 2 segmentos congruentes.
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ REY 11F
PLAN DE SUPERACION PROFUNDIZACION EN MATEMATICAS
PARTE V
Respecto al teorema de la mariposa…
Podemos concluir que dentro de la estructura geométrica, los triángulos ADM y BCM no son congruentes, puesto que cuando hablábamos de triángulos congruentes nos referimos a que la medida de sus respectivos lados son iguales,(congruentes),lo mismo ocurre con sus correspondientes ángulos. Pero si podemos afirmar que estos triángulos son semejantes, ya que sus lados correspondientes tienen medidas proporcionales, para mejor entendimiento las razones de sus lados son proporcionales, y tienen un Angulo en común (el Angulo esta opuesto por el vértice en los dos triángulos), esto ocurre en cualquier punto de la circunferencia, menos en el punto del centro, puesto que pasaría a ser el único punto donde los triángulos pasan de ser semejantes a ser congruentes, es decir, en este punto los triángulos tendrían las mismas medidas en sus ángulos y lados, hay son iguales!
Para que el los triángulos ADM y BCM sean congruentes la cuerda que los forma debe pasar por el punto centro de la circunferencia, este seria el único punto donde se puede hacer tal afirmación. En este caso apoyo o refuto el comentario de Juan David Piñeros de 11 H, puesto que el hace la misma afirmación sobre cuando son semejantes y cuando congruentes y sobre las conclusiones que el hace frente a este teorema.
Semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, sin importar su tamaño, puesto que las razones existentes entre sus lados son proporcionales.
Congruencia de triángulos: Dos triángulos son congruentes ya que la medida de sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Las razones existentes entre sus lados son iguales.
Basados en esto podemos afirmar que la semejanza de triángulos esta basada en que la medida de sus ángulos es congruente, sin importar la medida de sus lados correspondientes o sin importar su posición, pero en estas condiciones los triángulos son semejantes.(conceptualización).
Por ultimo podemos concluir también por que M es el punto medio del segmento XY, esto es así puesto que M divide el segmento en dos partes iguales, lo que podríamos comprobar con la medición de XM y MY, que resultarían iguales.
Sergio Giusseppe Ladino Sánchez 11H
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, sin importar su tamaño, puesto que las razones existentes entre sus lados son proporcionales.
Dos triángulos son congruentes ya que la medida de sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Las razones existentes entre sus lados son iguales.
la semejanza de triángulos es la medida de sus ángulos congruentes, sin importar la medida de sus ladoso sin importar en que posición este, pero en estas condiciones los triángulos son semejantes.
sofia lopez b 11f
cesar julian camacho ramirez 10 G
refutacion comentario angie puentes
- los triangulos DAM y BCM no existen, estos son solo angulos porque haria falta un segmento desde A a D y desde B a C ademas tambien son congruentes estos angulos por q son opuestos por el vertice
- los segmentos BA y BC no existen pero si se trazaran desde cada pundto si serian congruentes
1. Podemos observar que los triángulos DAM Y BCM son semejantes, puesto que sus ángulos son iguales.
2.como angulos congruentes se pueden afirmar:
AMD congruente con CMB
MDA congruente con MBC
DAM congruente con BCM
segmentos:
MQ congruente con MP
YO congruente con XO
PO congruente con QO
Py congruente con QX
PX congruente con QY
profe este comentario es con motivo de la superacion de profu
julian osorio
11h
superacion 1 y 2 periodo
jorge luis soler martinez 10G
terome de la mariposa
pienso que el triangulo DAM es semejante con el triangulo BCM ya que tienen um angulo proporcional en el punto M ademas de comprtir los segmentos CD y BA segun las medidas que tomo en cabri los angulos MAD y BCD son muy parecidos en su medida podria decirse que son proporcionales.
en cuanto a segmentos proporcionales segun los datos que realize del teorema CD y BA son segmentos que guardan cierta proporcionalidad ya que se encuentran inscritos en el mismo circulo y pasan por el mismo punto otros segmentos que guardan cierta proporcinalidad son BC y MD en si no veo mas segmentos proporcionales
Una opinion mia es que los dos triangulos pequeños, los medianos y los grandes son semejantes respecto a su pareja la cual corresponde a su tamaño ya que estos tieneden a obtener proporcionalidad con sus angulos
mi correo es ki9ke2@hotmail.com
Del teorema de la mariposa puedo concluir que:
- Los triangulos ACM y DBM son congruentes
- Los triangulos AMD y CMB tienen congruencia en sus angulos mas no en la medida de sus segmentos
- Al trazar una recta paralela al segmento PQ o XY que pase por el punto medio de este podemos ver que este es m, siendo este su eje de simetria para los triangulos ACM y BDM.
- Se presenta una congruencia entre los lados y los angulos de
los triangulos MAX y MYD; y entre MXC y MYB.
- El segmento CD es secante con el segmento AB en el punto M.
- Se presenta congruencia entre los segmentos como:
CD y AB
AC y BD
XM y YM
YQ y XP
AX y YD
AM y DM
CX y BY
CM y BM
PM y QM
alejandra moreno 11f
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