INDUCCIÓN
Revisa la inducción del taller No. 5 para que continúes con la forma de trabajo que venías realizando. Ten presente que el indicador de logro a evaluar en este periodo es: “Elabora argumentaciones soportadas en el dominio conceptual de objetos geométricos y relaciones de variación y de dependencia entre ellos”.
En esta sesión participarás también en el Centro de Debates en
APRENDIZAJE INDIVIDUAL
1. Herramientas conceptuales.
- Escribe la definición de segmentos proporcionales, polígonos semejantes y polígonos congruentes.
- Escribe los postulados de semejanza y congruencia de triángulos.
- Construye dos triángulos semejantes y establece las proporciones entre sus lados homólogos.
2. Construcciòn.
Realiza la siguiente construcción utilizando cabri:
Teorema de Pappus: Sean A, C, E tres puntos sobre una recta r y B, D, F tres puntos sobre otra recta s. Supongamos que AB corta a DE en L, CD corta a FA en M y EF corta a BC en N.
- ¿Qué puedes decir de la ubicación de los puntos L, M y N? (La respuesta a esta pregunta corresponde a la tesis del teorema de Pappus)
- Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes.
- Explora (igual que en el punto anterior) el caso particular en que las rectas r y s son paralelas.
APRENDIZAJE COLABORATIVO
Entra al “Centro de debates” y escribe las respuestas que diste en el trabajo individual. Debes tener en cuenta las intervenciones de tus compañeros.
APRENDIZAJE EXTRACLASE
- Dada una recta r construye una familia de circunferencias tangentes a dicha recta en un punto P.
- Dada una circunferencia de centro en C, construye una recta tangente a dicha circunferencia en un punto Q.
- Explora y escribe las conclusiones en tu cuaderno y participa en el “Centro de debates”.
57 comentarios:
De acuerdo a la ubicacion de los puntos L,M y N se puede decir que estos tres estan alineados.
Danilo Ariza y John Rodriguez 11h
Daniel Esteban Rocha Duran
11-H
se puede concluir que en el teorema de papus , se ven las rectas AB, DE,CD,FA,EFy BC en los puntos L M y N que son en donde se intersectan las rectas anteriores forman una recta y por mas que se muevan las rectas S y R siempre va a permanecer la recta entre los puentos de interseccion por ende puedo decir que la distancia es constante entre los puntos de interseccion
El teorema de papus podemos concluir que los puntos L M N son puntos de intersección de las rectas E,F - E,D - A,B - A,F - C,B - C,D. son las que forman los puntos L M N y la union de estos tres puntos forman un linea recta asi podemos comprebar que la construccion esta bien hecha.
steven pinto
flacko
JORGE ARMANDO MORENO AGUDELO 11-H
LOS PUNTOS DE LA INTRSECCION DE LOS CORTES DE LAS RECTAS (L,M,N) SIEMPRE QUEDARAN DE UNA FORMA DE LINEA RECTA Y LOS PUNTOS SERAN CONSECUTIVOS ENTRE ELLOS DE TAL FORMA QUE LA RECTA QUE LOS UNE SIEMPRE SERA CONSECUTIVA Y NUNCA UN PUNTO QUEDARA FUERA DE LA RECTA
Sean r y s dos rectas distintas, si A, C y E, estan en r y B, D, F, estan en s, y ninguno de ellos es el punto de interseccion de las dos rectas, entonces los puntos de interccio entre AF y CD, BC y EF, DE y AB, estan alineados.
Annge Bogota 11 H
Teorema de Pappus
pudimos observar en la realizacion del teorema como tal, que al realizar las diferentes construcciones de rectas ofrecidas por el ejercisio los puntos de interseccion, quedaban formando una recta perfecta, independientemente de que se movieran las construcciones o no .
Katherine Garnica y Yanin Sanchez 11 H
Alejandra Medina 11-H
Desarrollo de las preguntas:
1.¿que puedes decir de los puntos N,M,L ?
*Rta/: De los puntos L,M,N, podemos decir que son consecutivos y al trazar una recta todos quedaran inscritos en ella.
2.Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes.
*Rta/:los tiangulos semejantes existentes son semejantes algunos con otros pero estos cambia su medida cuando movemos la grafica.
RTA:
podemos conlcuir que estos puntos son seguidos y forman una linea recta.
tambien podemos concluir que en el teorema de papus, se pueden observar diferentes rectas y son intersectadas formando una recta.
MARIA PAULA CEPEDA Y SOFIA LOPEZ
11 F!
Teorema de Pappus
Con este teorema puedo concluir que los puntos de interseccion de las rectas AB - DE, CD - FA, EF - BC siendo respectivamente L,M y N estan alineados. Este teorema como particular no condiciona las distacias de los puntos, los angulos entre rectas, ni el ordenden de los puntos; lo cual nos permite verificar que esten alineados asi se cambie algunas de las caracteristicas de su construccion.
Como parte de este teorema tambien se ve parte del teorema de Thales reflejado y es de los segmentos proporcionales entre las rectas r y s con las rectas que forman las intersecciones L,M y N respectivamente.
Maria Alejandra Moreno Bejarano
11F
¿qué se puede decir de los puntos L,M y N?
se puede decir los puntos L,M y N estan alineados es decir que se puede trazar una linea recta que una los tres puntos y ademas corte las rectas R y S.
segmentos proporcionales:
cn y dl
bc y de
lb y en
ab, cd y ef
ac y bd
ce y df
am y fm
entre otros
angulos congruentes:
abd y cdf
bac y dce
efm y cma
bld y cne
lmd y cmn opuestos por el vertice
amc y dmf opuestos por el vertice
triangulos semejantes
abc y def
aef y abf
ldm y mcn
lbd y cne
acm y fdm
bdc y cde
cuando las rectas son paralelas se hace mas evidente la semejanza de los tríangulos.
Pedro Pablo Acosta 11f
CATHERINE VIÑA - LINA PINZON
11-F
TEOREMA DE PAPPUS:
1.LOS PUNTOS L, M, N FORMAN UNA RECTA .
CADA VEZ QUE SE TIENE UNA RECTA Y SE COLOCA EN TRES PUNTOS, LA INTERSECCION DE LAS CONSTRUCCIONES DE ESTOKS PUNTOS SIEMPRE VAN A FORMAR EN SU PUNTO DE CORTE UNA RECTA CONSTANTE.
2.QUISIMOS DEMOSTRAR SEMEJAZA ENTRE LOS TRIANGULOS CEN Y BDL APLICANDO ALTERNOS EXTERNOS PERO ESTO NO LO EVIDENCIA YA QUE NO SE VE LA RAZON ENTRE LOS TRIANGULOS Y ADEMAS LOS POLIGONOS SON SEMEJANTES SI SE TIENEN LOPS ANGULOS IGUALES Y LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES.
que se puede decir de los puntos l m n
R/ los puntos l m n estan alineados ya que al mover los punto de lugar esto llegan a un estado donde estos estan en el mismo punto y al utilizar la herramienta alinedos esta corrobora de que lo estan
segmentos congruentes
nf y ab y dc
bl y cl
triangulos semejantes
dcb y cde y def y cne
cne y bdl
mdl y mcn
aef y abf
att: sebastian torres 11-f
lo que podemos concluir de el teorema de pappus es que los puntos
L M N siempre estaran en linea recta ya que aunque se muevan los segmentos las intersecciones siempre se mantendran en un mismo angulo haciendo que los puntos siempre formen una recta.
Camilo Osuna 11ªF
Pablo Moreno 11ªF
¿qué se puede decir de los puntos L,M y N?
lo que `puedo decir de dichos puntos es que estos se encuentran alioneados osea que podemos trazar una linea recta la cula une los tres puntos y tambien esta cortara las rectas "s" y "r"
por otra lado pude identificar triangulos semejantes como por ejemplo
ACM Y FDM
AEF Y ABF
ABC Y DEF
BDC Y CDE
tambien en el teorema de papus encontre que
abd y cdf
bld y cne
efm y cma
bac y dce
son angulos congruentes puesto que
ambos ángulos tienen la misma medida y un ejemplo de ellos son los angulos opuestos por el vertice
como
lmd y cmn
amc y dmf
por ultimo puedo decir que identifique segmentos proporcionales como
bc y de
cn y dl
ce y df
lb y en
ac y bd
ab, cd y ef
am y fm
Cuando las rectas son paralelas se puede ver mucho mejor cuando los triangulos son semejante o la semejanza de los tríangulos.
santiago agudelo bernal 11H
*LO QUE PUEDO CONCLUIR SOBRE EL TEOREMA DE PAPPUS ES QUE DADAS UNAS LINEAS, CADA UNA DE ELLAS CON TRES PUNTOS Y AL UNIR ESTOS PUNTOS(AB-DE,CD-FA,EF-BC)LOS PUNTOS DE LAS INTERSECCIONES QUE NOS DAN SON ALINEADOS
*ESTE TEROREMA NO DEPENDE SI LAS DOS PRIMERAS RECTAS SON PARALELAS O NO.
*TAMPOCO TIENE QUE VER CON ANGULOS O LADOS QUE SE FORMAN.
*AL MOVER LA RECTA s O LA RECTA r PODEMOS OBSERVAR QU LOS PUNTOS ESTARAN ALINEADOS SIEMPRE.
ALEJANDRA CUERVO 11°F
respecto a los puntos M, L y N, es correcto afirmar que estan alineados, y siempre lo estaran sin importar la ubicacion de los puntos A,B,C,D,E o F.
el teorema que resume esta demostracion es el teorema de pappus, definido por: sean X y X' dos rectas diferentes, y A B C 3puntos sobre X y A' B' C' 3 puntos sobre x'; los puntos de interseccion entre AB' y A'B, CB' y C'B, y AC' y A'C, estan alineados.
este teorema es esencialmente de incidencia (no hace referencia a medidas), por lo que carece de acciomas de congruencia. si revisamos bien los parametros para encontrar segmentos o triangulos congruentes, o triangulos semejantes, veremos que no existe ninguno de ellos en la construccion.
esta afirmacion deja de ser cierta cuando las rectas r y s son paralelas. en este caso podemos observar que los triangulos ALE y DLB son congruentes. lo mismo ocurre con los triangulos AMC y DMF, y ENC y BNF (cada pareja de triangulos comparten el vertice en una de las intersecciones L M o N).
los angulos congruentes existen estando o no las rectas s y r paralelas; estos angulos son los opuestos por el vertice.
luisa fernanda sanchez
11ºF
1. ¿Qué puedes decir de la ubicación de los puntos L, M y N?
R/ La ubicación de los puntos L, M Y N siempre dará como resultado una recta. Si en un par de rectas escogemos tres puntos al azar en cada una, es decir, A, C, E, puntos sobre la recta r y B, D ,F, puntos sobre la recta s,y los unimos dos a dos, las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta, en este caso las intersecciones son los puntos L,M y N.
2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes.
R/ Realizando la demostración en cabri me di cueta de que cuando las rectas r y s no son paralelas, no se pueden hallar segmentos proporcionales, ni ángulos congruentes ni triangulos semejantes, pero cuando las rectas son paralelas nos damos cuenta de que se forma un hexágono y se pueden hallar todas estas cosas. Hay que aclarar que dos ángulos son congruentes cuando tiene exactamente la misma medida; y en cabri podemos usar la herramienta de medida de ángulos que nos ayuda a darnos cuentas de que esto se cumple. También se encuentran triángulos semejantes, que son los que a poner en razón la medida de los lados respectivos da el mismo resultado con todos los lados del triangulo.
3. Explora el caso particular en que las rectas r y s son paralelas.
R/ En el caso en que las rectas r y s son paralelas nos podemos dar cuenta de una manera más clara de que la figura que se forma es un hexagono.
Ana María Medina Q.
11ºF
se puede decir ke las intersecciones de E,F - E,D - A,B - A,F - C,B - C,D las cuales forman L M y N, generan que esos puntos queden alineados sin depender de los angulos o los lados de la construccion
primero que todo con respecto a los puntos l,m,n se puede asegurar que estos puntos estan alineados por ende forman una recta, esto no impide que se pueda formar mas rectas ya que estos puntos pueden llegar ha ser la interseccion de diferentes configuraciones entre otros punto, usando cabri y las posibilidades que este me ofrece pude observar que cuando las rectas r y s no son paraleras no se puede hallar angulos congruentes,ya que no poseen la misma medida y esto puede ser comprobado por medio de la herramienta medida la cual nos mostrara lo dicho,en el mismo caso de ue las rectas r y s no sean paralelas tampoco se podran hallar segmentos proporcionales, en cambio cuando esas dos son paralelas se puede hallar con mucha facilidad segmentos proporcionales como b,c y d,e entre muchos otros.
Andres Felipe Saavedra O.
11h
¿Qué puedes decir de la ubicación de los puntos L, M y N?
Si unimos los puntos l , m y n cada uno correspondiente a las intersecciones de las rectas trazadas anteriormente nos podemos dar cuenta de que forma un línea recta que además de cortar l, m y n también pasa por las dos rectas que al principio fueron trazadas ósea S Y r también podemos decir que estos puntos están ubicados formando unA RECTA que cuando se mueven algunos de los puntos ya sea A, E ,F, B ,C, o D siempre va quedar en el mismo sitio y no tiene ningún movimiento los cual si movemos por ejemplo el punto D comparándolo con el punto C tomando como base la recta que nos dio queda como si fuera un espejo inverso , lo que quiero decir es que la parte de la derecha es igual a la parte de la izquierda pero el orden de arriba es diferente a el orden de abajo , formando triángulos semejantes pero en diferente lugar .
2. 2. Explora todas las posibilidades de encontrar segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes.
E n mi caso yo trabaje con r y s como rectas paralelas para poder hallar congruencia y semejanza de triángulos o segmentos , porque de lo contrario es muy difícil encontrarlos . trabajando pude encontrar .
SEGEMENTOS PROPOCIONALES:
Primero una decisión de que son los segmentos proporcionales
Segmentos proporcionales
Sean los segmentos:
a = 2 m , b = 3 m
c = 4 m y d = 6 m
Teniendo claro lo anterior los segmentos proporcionales que encontre fueron
CD Y E F
BC Y DE
CE Y DF
AC Y BD
AB y CD
AD Y CF
CM Y BM
TRIANGULOS SEMEJANTES
ABC Y DEF
ACM Y FDM
CBD Y CEN
BDC Y CDE
AEF Y ABF
3. Como lo dije anteriormente el ejercicio es mucho mas sencillo cuando hay rectas paralelas por lo que quiero decir que la anterior explicación la hice con
siguiendo las instrucciones del punto 2 de la guia podemos evidenciar que los puntos L,M y N estan alineados,esta regla se cumple independientemente de la ubicacion de los puntos en las rectas r y s.
Analizando las posibilidades no encontramos proporcionalidad ni en los triangulos, ni en los segmentos ni en los angulos.
Respecto al ejercicio construido con rectas paralelas podemos concluir que por la ley de angulos internos y angulos externos los angulos tienen la misma medida en las rectas mirandolas independientemente cuando cortan las rectas r y s, pero analizando los planos que se forman no tienen congruencia ni semejanza.
NATALIA CHICANGANA RAMIREZ 11F
En primer lugar los muntos L M N se encuentran alineados, debido a que estos puntos son las intersecciones de las rectas AB y DE en L, CD y FA en M y EF y BC en N cuando los puntos que forman las rectas se encuentran ubicados sobre dos rectas distintas r y s tres puntos en una y tres en otra respectivamente teneiendo en cuenta que ninigun punto puede ser la interseccion de las dos rectas, ya que si fuese asi las dos rctas compartirian un punto y por ende no se podria hacer la construccion.
Con respecto a la posibilidad de necontrar segmentos proporsionales, triangulos semejantes o angulos congruentes, unicamente tuve exito en encontrar angulos congruentes, los cuales se encunetran ubicados en todas las posibes intersecciones de retas de todos los puntos de la construccion, ya que en este caso se formarian angulos opuestos por el vertice.
Y finalmente en relacion a la construccion con las rectas paralelas, esta construccion y sus resultados no cambian en absoluto es decir , niniguna de sus propiedades son afectadas.
Sergio Martinez 11 H
revisando nuevamente el ejercicio me pude dar cuenta que es verdad que no hay congruencia en los planos que se forman pero si hay semejanza porque son los mismos triangulos pero a diferente escala
NATALIA CHICANGANA RAMIREZ 11F
De acuerdo a la construcción q hice del Teorema de Pappus: Sean A, C, E tres puntos sobre una recta r y B, D, F tres puntos sobre otra recta s. Supongamos que AB corta a DE en L, CD corta a FA en M y EF corta a BC en N.
Me pude dar cuenta q los puntos L, M y N siempre estaran alineados si se hace bien la construccion.
También me di cuenta que no importa si las rectas r y s son paralelas, perpendiculas, o mejor dicho, no importan las posiciones, ni la distancia que separe a estas dos rectas; los puntos L, M y N SIEMPRE quedarán alineados.
Esto se comprueba al realizar la construccion y mover cualquiera de las dos rectas r y s. Se notará que los puntos L, M y N nunca se desalinearán.
Basicamente en eso se concentra el Teorema de Pappus.
Juan Sebastián Lozano Ortiz
11ºH
1. De los puntos M, L y N, afirmo que son puntos alineados, y no depende de la ubicación de los puntos de intersección de A,B,C,D,E o F ni tampoco la distancia entre r y s pues siempre permanecerán alineados.
2. cuando las rectas r y s no son paralelas, no se encuentran ángulos congruentes ni triángulos semejantes lo contrario ocurre si ubicamos las rectas de forma paralela donde ya es posible identificar los segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes
SANTIAGO SAMPER------>11F
LOS PUNTOS L,M,R SE ENCUENTRAN ALINEADOS SIN IMPORTAR QUE TANTO SE CORRA LA RECTA7ABC) LOS PUNTOS SIEMPRE PERMANECERANM ALINEADOS, PUEDEN QUEDAR COMO UNA LINEA PARALELA, PERO NO SE DESALINEAN SIEMPRE PERMANECEN EN SU MISMA RECTA.
VANESSA ESTEBAN 11H
En el teorema de pappus, nos damos cuenta que al dibujar dos rectas "r" y "s" y al unirlas a través de puntos dos a dos, el resulatado va a demostrar que las intersecciones entre estas rectas estan alineadas, por mas que se modifique la distancia entre las rectas r y s, también podemos observar que los segmentos que unen las rectas r y s, forman triangulos semejantes tales como los poligonos: AB BC CA, semejantes al triangulo CD DE EC.
DAVID LEONARDO LOPEZ GONZALEZ 11F
Es difícil encontrar los triángulos congruentes debido a que las rectas S y R no son paralelas por lo tanto podemos decir que L,M,N siempre deberan estar siempre alineados sin importar las posiciones o la distancia que tengan las rectas “r” y “S” porque son las intersecciones de las rectas AB y DE en L, CD y FA en M y EF y BC en N Y no cambian al mover algunas de estas rectas
Los puntos L,M y N estan ubicados linealmete ya que trazando una recta, con la herramienta lineas-recta, esta une a L,M y N intersectando tambien a s y r.
Se encontraron angulos de la misma medida como lo eran ABC y DEF, CDE y BDC, ABF y AEF.
Al ser r y s paralelos se puede hallar mas facil la congruencia de los angulos utilizando la herramienta, medida-medida de angulo.
Viviana Morera 11-H
Lo que puedo decir respecto a los puntos L, M y N es que siempre van a estar alineados sin importar la ubicación de los puntos A, C, E, B, D, F; sobre las rectas r y s, esto lo podemos comprobar con la herramienta propiedades - ¿alineados?, al mover los puntos de las rectas o aun así las rectas los puntos seguirán alineados, es por lo que el teorema de Pappus se define como sean d y d’ dos rectas distintas, A, B y C tres puntos distintos en d, y A’, B’ y C otros tres puntos distintos en d’; los puntos de corte entre las rectas AB’ y A’B, AC’ y A’C y BC’ y B’C, están alineados.
Karol Bogotá 11F
los Puntos L M N se encuentran alineados, gracias a que estos puntos son las intersecciones de las rectas AB y DE , CD y FA y EF y BC en L,M,N respectivamente cuando los puntos que forman las rectas se encuentran sobre dos rectas distintas r y s.
para identificar los segmentos proporcionales, triangulos semejantes o angulos congruentes de la grafica, pudimos encontrar angulos congruentes, los cuales se encuentran ubicados en todas las posibes intersecciones de rectas de todos los puntos de la grafica, que en este caso se formarian angulos opuestos por el vertice. Tambien encontramos varias parejas de triangulos semejantes dentro de la grafica. Concluyendo con respecto a las rectas paralelas, esta grafica y sus resultados no cambian si su inclinacion es alterada.
Diego Restrepo
Juan Camilo Bernal 11°G
Danny Amaya
27 MAYO 2008 11G
TEOREMA DE PAPPUS
Mediate la grafica podemos obseva que los tres puntos y lieas esta alineadas, lo que nos compueba que en la contruccion de la figua observamos el teorema de pappus.
Unos ejemplos de lo obsevado son:
ANGULOS CONGRUENTES
AMD con CMF
CMA con FMD
Los demas agulos conguentes se pueden observar en la contruccion
SEGMETOS PROPORCIONALES
EF con BDC
CMA con MFD
CA con BD
DL con CB
TRIANGULOS SEMEJANTES
DBL con BDC
CMA con MED
CEO con EDF
CEN con BDL
SEGUNDA CONCLUSION
Los puntos M, N y E tambien los podemos encontrar alineados, por lo tanto el teorema de pappus se cumple tambien con rectas paralelas
Elavorado por:
Francisco Daza 11G
Maurcio Arias 11G
Lo que pude concluir fue que los puntos LMN estaban alineados y esto lo comprobe con la hetamienteça lineas-recta. Estos son 3 puntos que forman una tercera recta, intersectando a los puntos ACE y BDF y asi se puede comprobar el teorema de paous.
Tambn pude concluir que los puntos LMN estan alineados sea que se formen tanto perpendicularmente como paralelamente y tambn se forman varios triangulos cuando se realizan los trazos esto lo comprobe cuando hice las construcciones.
CLAUDIA MARCELA DIAZ ROA 11-H
Mi conclusion esta basada en el siguiente teorema de papus que lo unico que cambia es las letras dice: sean r y s dos rectas diferentes, y A B C 3puntos sobre r y A' B' C' 3 puntos sobre s; supongamos que la interseccion entre AB' y A'B,la llamamos L , la interseccion CB' y C'B,la llamamos M y la interseccion de AC' y A'C, la llamamos N.
Lo que puedo concluir es que los puntos L,My N es que alineados es decir que al trazar una linea por estos puntos va a quedar una linea recta .
Con respecto a lo de segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes.No pueden exsistir ya que las linea no son paralelas y los puntos no estan a la misma distancia de los de la recta r ni s
Pero si las lineas r y s son paralelas y los puntos estan a la misma distancia si exsistirian triangulos semejantes como en los triangulos A´ B´C Y A B´C´ ya que sus angulos son iguales y los lados son proporcionales usando el concepto de razon ente dos segmentos.Esto lo comprobe por medio de la herramienta medida.
Los angulos en los triangulos son congruentes por que tienen la misma medida
jessica estefania Molano 11H
Mi conclusion esta basada en el siguiente teorema de papus que lo unico que cambia es las letras dice: sean r y s dos rectas diferentes, y A B C 3puntos sobre r y A' B' C' 3 puntos sobre s; supongamos que la interseccion entre AB' y A'B,la llamamos L , la interseccion CB' y C'B,la llamamos M y la interseccion de AC' y A'C, la llamamos N.
Lo que puedo concluir es que los puntos L,My N es que alineados es decir que al trazar una linea por estos puntos va a quedar una linea recta .
Con respecto a lo de segmentos proporcionales, ángulos congruentes y triángulos semejantes.No pueden exsistir ya que las linea no son paralelas y los puntos no estan a la misma distancia de los de la recta r ni s
Pero si las lineas r y s son paralelas y los puntos estan a la misma distancia si exsistirian triangulos semejantes como en los triangulos A´ B´C Y A B´C´ ya que sus angulos son iguales y los lados son proporcionales usando el concepto de razon ente dos segmentos.Esto lo comprobe por medio de la herramienta medida.
Los angulos en los triangulos son congruentes por que tienen la misma medida
jessica estefania Molano 11H
Despues de haber realizado el ejercicio del teorema de pappus podemos concluir, que los puntos l,m,n estan alineados independiente de lo que pase con otros puntos sobre r y s.
Camilo González 11f
lo que puedo decir de los puntos l,myn es que estan alineados es decir se puede trazar una linea recta que pase por los tres puntos y adema corte con las rectas r y s
tambien a partir de la construccion logre ver que se formavan diverson triangulos los cuale vi que eran semejantes estos triangulos eran
dcb,cde,def,cne,bdl,mdl,mnc.
tambien pude ver que si las rectas no son paralelas una con la otra no se van a poder allar segmentos proporcionales ni triangulos semejantes ni angulos congruentes tambien me di cuenta que estos puntos alineados no dependen de los puntos de interseccion
att: camilo marin 11f
Daniel Castro 11°H
De los puntos L, M y N podemos decir que estan alineados, lo cual no varía al desplazar cualquiera los puntos a,b,c,d,e,f.
En cuanto a segmentos proporcionales,triángulos semejantes y ángulos congruentes lo que se diferencia a simple vista so los ángulos congruentes devido aque se presenta la oposición de los vértices de estos, una de las formas de obtenerlos, junto con la inscripción en un mismo arco.
En el caso especifico de dos rectas paralelasesto no se cambia, sin importar el tipo de rectas que se empleen las propiedades se conservan.
LINA ESTEFANIA CUERVO OLMOS 11F
Con base en la construccion realizada, puedo concluir que los puntos L,M y N, siempre van a estar alineados, sin importar como las rectas r y s, se muevan, esto se puede demostrar a traves de una recta que pase por los puntos mencionados.
Mientras las rectas r y s esten paralelas, los triangulos que comparten su vertice, ALE-ALB, AMC-DMF y BNF-ENC, van a ser congruentes entre si, por el contrario los otros triangulos que podamos ver, por ejemplo, AEF-DBC, ABC-DEF, CDE-BFA, van a ser semejantes.
En el teorema de pappus al realizar la construccion de las distintas rectas:
AB, DE, CD, FA, EF, BF
con base en las rectas r y s
podemos notar que los puntos de intersecciones de las rectas L, M, N estan alineados pues si trasamos un recta que por estos puntos los tres la tocan y ademas si las rectas r y s son cambiadas de posicion esta recta prevalece pero si varia la posicion de esta tambien lo cual podriamos decir que
entre dos rectas puede existir 3 puntos en cada una la cual al trazarles rectas perpendiculares y diagonales con respecto a las rectas s y r y que al intersectarse de cierta manera me dan un recta constante que no varia.
segmentos proporcionales:
solo existen segmentos
iguales cuando las rectas r y s se encuentran paralelamente y los tres puntosde cada recta se encuentran enferntadoso o al mover un punto en una recta en el otro se debe mover el punto que le correpond es decir si yo muevo a debo mover f ysi yo muevo e debo mover b y respectivamente los otros dos en sentido contrario pero la misma distancia para que se mantengan las proporciones y si hay segmentos proporcionales EN CAULQUIER CONDICION al plantear relaciones como:
CN/DL = MN/ML
angulos congruentes:
los angulos congruentes los podemos hallra en las inetesecciones caundo r ys son paralelas y esto se puede comprobar al medirlos en cabri al igual que con la condicion anteriormente mencionada de las distancias entre los puntos.
triangulos semejantes:
podemos encontra los traingulo semejantes cuando los puntos no se encuentran enfrentados o las recta no estan en posicion paralela y esto se puede ver al medir angulos y lados de los triangulos donde hay cierte constante de proporcion entre los triangulos.
traingulos congruentes:
solo existen cuando las RECTAS R Y S son paralelas y los puntos se encuentran enfrentados o se desplasan con la condicion ya mencionada para que haya segmentos IGUALES
POR: CARLOS CEPEDA 11H
Alejandra Moncaleano 11 F
En el teorema de Pappus podemos concluir que los puntos L,M,N estan alineados sin importar la forma como las rectas r y s se muevan.
Con respecto a la congruencia entre ángulos, podemos observar que los ángulos CNE-FNB, ENB-CNF, ALE-DLB, ALD-ELB, AMC-DMF, AMD-CMF, al ser opuestos por el vertice presentan congruencia.
Finalmente puedo decir que cuando las rectas r y s son paralelas, los triángulos que comparten su vertice son congruentes, mientras que en otros triángulos como AEF y DCB se presenta una semejanza.
al realizar el teorema de pappus yo puedo concluir que:
- sin importar la ubicacion de los puntos (A-B-C-D-E-F) los puntos L-M-N siempre estaran alineados y daran como resultado una recta.
- al explorar posibilidades de encontrar segmentos proporcionales, angulos congruentes y triangulos semejantes, encontre angulos congruentes y estos son aquellos que en la construccion estan opuestos por el vertice.
- en el caso particular en el que las rectas r y s son `paralelas se encuentra la facilidad de hallar congruencia entre angulos.
Jessica P. Martinez T.
ON-C F
Podemos decir que la distancia entre N y M, es la misma que hay entre L y M, si unimos estos 3 puntos nos da una recta que pasa por la mitad del segmento CD.
El triángulo formado a partir de los segmentos NF, AF y BN es igual al triángulo formado por los segmentos AF, LE y AL. Esta construcción la hicimos con rs paralelas, en donde al finalizar la construcción la recta formada por BN es paralela a la recta formada por los puntos LE.
Se forman 10 triángulos a partir de las diversas interferencias entre los puntos, 5 triángulos, cada uno con su respectivo triangulo congruente.
En el teorema de pappus podemos afirmar que en lo que se refiere a los puntos L,M,N siempre van a estar alineados sin importar la ubicacion correspondiente a A, B, C, D, E y F, en la construccion encontramos que los triangulos que estan formados por DLB y DMF son congruentes al igual que ocurre con los triangulos ALE y AMC, puesto que estan opuestos por el mismo vertice el cual es ya sea M N o L....encontrados en las rectas r y s.
MARIANA CATALINA QUINTIN 11 F
Conclusiones
Podemos decir mediante esta construccion del Teorema De Pappus que:
1.La ubicacion de los puntos L,(formado mediante el corte de la recta AB a la recta DE)M(formado mediante el corte de la recta CD respecto a la recta FA)y N(formada mediante el corte de la recta EF respecto a la recta BC)que al unir estos tres puntos se crea una recta.
2.Y encontramos algunos triangulos semejantes como:
*BDC con CDE
*LBD con CNE
*ACM con FDM
*DEF con BCD
*ABC con DEF
3.Encontramos al observar algunas posibilidades de congruencia de los angulos que:
*MCA = DFM
*DMA = CMD
*NER = CEF
*MDF = BDL
Santiago Rativa, Fabio Bautista.
º-º 11-F
Sebastian Patiño
Oscar Andrade
11ºF
1. En el teorema de papus encontramos que los puntos L, M y N estan aliniados y vemos que no tienen nada que ver con la medida de los segmentos debido a que es un teorema puramente de incidencia.
2. si llamamos a la interseccion AF y DE W, obtenemos que los triangulos AWE y DWF son semejantes porque al realizar la razon entre sus corespondientes lados obtenemos la misma medida.
También, tomando el mismo punto W, encontramos que los triangulos EWF y ALW, son semejantes y el triangulo MDW es semejante a triangulo ALW por lo tanto el angulo AWL es congruente tambien al angulo MWD.
3. En el caso en el que las rectas r y s son paralelas, podemos encontrar numerosos triangulos semejantes y angulos congruentes ya que debido al teorema que dice que al trazar rectas entre dos lineas paralelas los angulos comprendidos entre dicha recta y las dos lineas paralelas son congruentes.
teorema de pappus
1. Segun el teorema de papus y lo que esta planteado en la grafica que realizamos en el programa me pude dar cuenta de que los puntos L, M y N estan alineados ya que cuando trazamos una recta de la cual van unidas a las anteriores dichas intersectan tambien a s y r, que son los otros dos puntos, ya que las intersecciones de E,F-E,D-A,F-C,B Y A,B que son las que forman los puntos L M y N el resultado es que quedan totalmente alineados sin ninguna dependencia de los lados de la construcción.
2. Utilizando el programa de cabri la posibilidad de que hallando que estos los dos puntos s y r queden paralelos a mi perspectiva solo exixten algunos angulos congruentes puesto que estos no poseen la misma medida, tambien debido a la posicion que presentan, pero esto solo si lo vemos a simple vista debido a que necesita comprobacion de medidas, pero si existen, ya que la recta alineada siempre va a existir y hay posibilidades de la presencia de la proporcionalidad.
3. si podemos encontrar si las rectas s y r se encuentran paralelas la facilidad de hallarlas es mucho mayor, entre la congruencia de los angulos, ya que comparten un mismo vertice mientras que en el otro caso como estaba presentada la construccion se demuestra una semejanza, aunque la alineacion de L M y N siempre va a existir como lo dice el teorema de papus.
1. De los puntos L, M y N podemos decir que están alineados, y se mantienen así, sin importar que las rectas AB, CD, o EF se muevan.
2. Los ángulos congruentes que encontré son aquellos opuestos por el vértice, tomando como vértice los puntos que intersecan a las rectas R y S, y el punto M; y tomando como rayos a las rectas que pasan por estos puntos. Ejemplos: ángulo NMF con ángulo LMA, ángulo DMF con ángulo CMA, ángulo CMN con ángulo LMD, etc.
No encuentro triángulos semejantes ni segmentos proporcionales.
3. En el caso en el que las rectas R y S podemos observar triángulos semejantes opuestos por el vértice, solo si tomamos como vértice al punto M. Ejemplo: Triángulo AMC es semejante al triángulo DMF.
Los ángulos congruentes continúan siendo aquellos opuestos por el vértice que se observaban cuando las rectas R y S no eran paralelas.
John F. Alba G.
11-H
Podemos conluir despues del analisis del teoremsa y la construccion hecha por nosotros que los puntos de L, M, N estan alineados, ya que no varia al desplazar cualquiera de los puntos A,B,C,D,E,F, y Respecto a los otros conceptos tratados, en este caso segmentos de recta proporcionales,angulos congruentes y triangulos semejantes o congruentes, lo que varia y se puede diferenciar, son los angulos congruentes (congruentes:que tienen la misma medida), ya que se puede diferencuiar o ver claramnete cuando sus vertices estan opuestos. y por medio de una medicion se puede ver su congruencia!
y por ultimo despues, en la construccion con las rectas que son paralelas,en esta construccion no cambian sus resultados,ya que ninguna de sus porpiedades o caracteristicas cambia.
Sergio Ladino S. 11 H
TEOREMA DE PAPPUS
Acerca de la ubicacion de los puntos l, m y n se puede afirmar que estan alineados y continuaran de esta manera asi se moviera algun punto A,B,C,D,E,F, en CABRI podemos ver que usando herramienta propiedades y seleccionando los tres puntos nos mostrara la frase "estan alineados" ; consultando en otras fuentes podemos ver que lo anterior corresponde a la tesis del teorema:(Sean d y d’ dos rectas distintas, A,B y C tres puntos distintos en d y A’,B’ y C’ otros tres puntos distintos en d’. Los puntos X = AB’ÇA’B, Y = AC’ÇA’C y Z= BC’ÇB’C están alineados).
Tomando a las rectas s y r paralelas es mas claro ver segmentos proporcionales, triangulos semejantes y angulos congruentes que si no fueran asi; vemos como hay triangulos semejantes: por esto forman angulos opuestos por el vertice de igual medida.
tambien (con rectas paralelas) vemos como hay segmentos de igual longitud como: DE y BC; LE y BN;BL y NE, estos últimos forman un paralelogramo al interior de la construcción.
NATHALY PINZON 11F
•Bueno lo más imporatante de este teorema radica en que los puntos L,M,y N, siempre estarán alineados independientemente de la ubicación de los otros puntos del teorema.• Por otro lado con respecto a los ángulos y triángulos congruentes y demás, sólo encontre ángulos congruentes ya que eran opuestos por el vértice y están ubicados en las intersecciones de las diferentes rectas que formaba los puntos del teorema•
•aNgéLiCa lOzAnO•11°F• =D
1-los puntos son colineales ya que se encuentran inscritos en la misma recta
2 segmentos proporcionales:
CN-DE
NE-CD
AB-EF
BC-DL
AB-EF
BL-CD
CE-BD
TRIANGULOS SEMEJANTES
ABC-BDL
BCD-CNE
CDE-DEF
ESTO SE PUEDE AFIRMAR YA QUE ENCONTRE ANGULOS SEMEJANTES COMO
NER-CEF
MDF-BDL
JORGE LUIS SOLER MARTINEZ 10-G
Andés Urrego Nieto
10G
14/07/2008
1. Lo que podemos notar de los puntos L,M y N, son que sin importar cuán los movamos, éstos siempre va n a ser colineales, osease quesiempre se van a mantener en una misma recta ( ésta recta se puede dibujar para comprobar que los tres puntos se posan sobre la misma recta o ya sea que se saque de pura observación).
2.ÁNGULOS CONGRUENTES:
- AMC y FMD.
- AML y NMF.
- CMF y DMA.
- CNM y DML.
- ACB y NCE.
- ACN y BCE.
- BDL y EDF.
- Entre otros.
Pueden salir muchos más ángulos si nos dieramos a la tarea de darles nombres a cada una de las intersecciones, cuestión que en verdad sería muy tediosa.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
- AMC y DMF.
- AML y FMN.
- BDL y EDF.
- ACB y NCE.
Pueden salir muchos más triángulos, si nos pudieramos a poner segmentos en cada una delas líneas a las cuales les falta por lo menos un lado para formar un triángulo, y les dieramos nombres a ésas intersecciones, para así tener forma de hallar muchos más triángulos semejantes.
SEGMETOS PROPORCIONALES.
En resumidas cuentas, vendrían siendo dos lados res`pectivos de dos triángulos semejantes.
3. En el caso particular en el cual las rectas fueran paralelas, y la medida entre cada punto fuera la misma para todos éstos,se podrían encontrar lados congruentes y triángulos congruentes.
en el caso tal en el que solo sean las líneas paralelas, se seguirían encontrando ángulos congruentes, triángulos semejantes y lados proporcionales, pero ya no lados o triángulos iguales.
Teorema de Papus
Podemos afirmar que los puntos intersección de las rectas dichas (AB-DE, CD-FA, EF-BC), se encuentran alineados, siempre que las rectas.
Angulos congruentes:
(Esta congruencia se deduce a partir del teorema de los angulos opuestos por el vértice)
AMN-LMF
AMC-DMF
BDE-LDF
ACN-BCE
AML-NMF
BDL-EDF
LDF-BDE
NCE-ACB
Triangulos semejantes:
(Esto se deduce a partir del postulado de semejanza LAL)
DMF-AMC
AML-NMF
NCE-ACB
BDL-EDF
Cuando las rectas son paralelas:
Si las rectas r y s son paralelas, pero además tambien lo son las rectas AB, CD, EF, entonces, podríamos encontrar segmentos, triangulos, y angulos congruentes.
("Este comentario es publicado con el patrocinio de Sebastian Cruz 10g)
Encontre un caso con las rectas paralelas, en que el teorema de papus no se cumple, proximamente voy a estar subiendo la imagen.
("Este comentario es publicado con el patrocinio de Sebastian Cruz 10g)
Sebastian camilo Ramos 10-g
Teorema de pappus
1R. al encontrar los puntos L, M y N vemos que estos puntos estan alineados ya sea que las rectas sean paralelas o no. En estos dos casos la ubicacion de estos puntos forman una linea recta cuando los uno.
2R. Cuando exploro todas las posibilidades yo encontor varios segmentos proporcionales como :
.AC proporcional a AB
.AE proporcional a BF
.CE proporcional a DF
.AB proporcional a EF
.AB proporcional a CD
angulos congruentes como :
Los angulos mas comunes son los opuestos por el vertice como:
.angulo NMF congruente angulo AML
.angulo DMF congruente angulo AMC
.angulo LDM congruente angulo CMN
.angulo PCN congruente angulo DCB
.angulo PCB congruente angulo NCD
.angulo HAY congruente angulo BAM
.angulo HAB congruente angulo YAM
.angulo AOC congruente angulo BOF
.angulo AOB congruente angulo COM
.angulo MGO congruente angulo ECF
.angulo AGD congruente angulo DGF
Triangulos Semejantez como:
.Triangulo BAD Semejante Triangulo
ACD
.Triangulo DCE Semejante Triangulo
FDE
.Triangulo BCD Semejante Triangulo
DEF
En el teorema de papus cuando son paralelas no hay tantas intersecacions como en el otro ejemplo, ademas en el teorema paralelo hay dos rectas mas paralelas como lo son las rectas NB y LE
Sebastian ramos 10-g
Solo podemos decir acerca del teorema de papus que los puntos que se gereran por las intersecciones de las lineas, son colineales, ya que la distacia de estos a su linea origen siempre seran proporcionales.
Jorge Leonardo Gomez Mora 10ºG
Publicar un comentario